高三理数一轮复习第六章数列

第六章数列高考导航考试要求重难点击命题展望1.数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2.等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念；（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.本章重点：1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;2.注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.本章难点：1.数列概念的理解；2.等差等比数列性质的运用；3.数列通项与求和方法的运用.仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质，在解答题中，会保持以前的风格，注重数列与其他分支的综合能力的考查，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一个特殊函数，使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来，命出开放性、探索性强的问题，更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也倍受欢迎.知识网络6.1数列的概念与简单表示法典例精析题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：(1)7,77,777,7777，…(2)23，－415，635，－863，…(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…【解析】(1)将数列变形为79·(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n－1)，故an＝79(10n－1).(2)分开观察，正负号由(－1)n＋1确定，分子是偶数2n，分母是1×3,3×5,5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可写成an＝(－1)n＋1)12)(12(2nnn.(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….故数列的通项公式为an＝n＋2)1(1n.【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.【变式训练1】如下表定义函数f(x)：x12345f(x)54312对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2008的值是()A.1B.2C.3D.4【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an.所以a2008＝a4＝2，故选B.题型二应用an＝)2(),1(11nSSnSnn求数列通项【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求其通项公式：(1)Sn＝3n－2；(2)Sn＝18(an＋2)2(an＞0).【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，又a1＝1不适合上式，故an＝)2(32),1(11nnn(2)当n＝1时，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2，所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，又an＞0，所以an－an－1＝4，可知{an}为等差数列，公差为4，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·4＝4n－2，a1＝2也适合上式，故an＝4n－2.【点拨】本例的关键是应用an＝)2(),1(11nSSnSnn求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式.【变式训练2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A.2n－1B.(n＋1n)n－1C.n2D.n【解析】由an＝n(an＋1－an)⇒an＋1an＝n＋1n.所以an＝anan－1×an－1an－2×…×a2a1＝nn－1×n－1n－2×…×32×21＝n，故选D.题型三利用递推关系求数列的通项【例3】已知在数列{an}中a1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式：(1)an＋1＝an1＋2an；(2)an＋1＝2an＋2n＋1.【解析】(1)因为对于一切n∈N*，an≠0，因此由an＋1＝an1＋2an得1an＋1＝1an＋2，即1an＋1－1an＝2.所以{1an}是等差数列，1an＝1a1＋(n－1)·2＝2n－1，即an＝12n－1.(2)根据已知条件得an＋12n＋1＝an2n＋1，即an＋12n＋1－an2n＝1.所以数列{an2n}是等差数列，an2n＝12＋(n－1)＝2n－12，即an＝(2n－1)·2n－1.【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列，所以anan＋1≠0，所以(n＋1)an＋1an－nanan＋1＋1＝0，令an＋1an＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0，所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，得t＝nn＋1或t＝－1(舍去)，即an＋1an＝nn＋1.所以a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12·23·34·45·…·n－1n，所以an＝1n.总结提高1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.2.由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况.3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.6.2等差数列典例精析题型一等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn，求Tn的表达式.【解析】(1)证明：n＝1时，a1＝S1＝－8，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，当n＝1时，也适合该式，所以an＝2n－10(n∈N*).当n≥2时，an－an－1＝2，所以{an}为等差数列.(2)因为n≤5时，an≤0，n≥6时，an＞0.所以当n≤5时，Tn＝－Sn＝9n－n2，当n≥6时，Tn＝||a1＋||a2＋…＋||a5＋||a6＋…＋||an＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an＝Sn－2S5＝n2－9n－2×(－20)＝n2－9n＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S21＝42，若记bn＝1391122aaa，则数列{bn}()A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21＝21a1＋21×202d＝42.所以a1＋10d＝2，即a11＝2.所以bn＝1391122aaa＝22－(2a11)＝20＝1，即数列{bn}是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二公式的应用【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.【解析】(1)依题意，有S12＝12a1＋12×(12－1)d2＞0，S13＝13a1＋13×(13－1)d2＜0，即②①06011211dada由a3＝12，得a1＝12－2d.③将③分别代入①②式，得03,0724dd所以－247＜d＜－3.(2)方法一：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.方法二：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an＋1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d＞0，a2008，a2009是方程x2－3x－5＝0的两个根，Sn是数列{an}的前n项的和，那么满足条件Sn＜0的最大自然数n＝.【解析】由题意知,05,030092008200920082aaaa又因为公差d＞0，所以a2008＜0，a2009＞0.当n＝4015时，S4015＝a1＋a40152×4015＝a2008×4015＜0；当n＝4016时，S4016＝a1＋a40162×4016＝a2008＋a20092×4016＞0.所以满足条件Sn＜0的最大自然数n＝4015.题型三性质的应用【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人).所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10＝10(40＋400)2＝2200(人)，9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列.所以后20天新感染者的人数和为T20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5900(人).所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为.【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，所以5＋3d2≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1，所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am＝an＋(m－n)d.2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.6.3等比数列典例精析题型一等比数列的基本运算与判定【例1】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，a