高考一轮复习不等关系与不等式

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第1讲不等关系与不等式【2015年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③C．③④D．①④解析当c＝0时，ac2＝bc2，∴①不正确；a＞|b|≥0，a2＞|b|2＝b2，∴②正确；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·a＋12b2＋34b2＞0，∴③正确；取a＝2，b＝－3，则|a|＞b，但a2＝4＜b2＝9，∴④不正确．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网答案B2．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()．A．v＜40km/hB．v＞40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h答案D3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞b/⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案B4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案D5.12－1与3＋1的大小关系为________．解析12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.答案12－1＜3＋1考向一比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点]采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.ab＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.12a＜12b解析令a＝2，b＝－1，则a＞b，ab＝－2，故ab＞1不成立，排除A；令a＝1，b＝－2，则a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立，排除B；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0，排除C；f(x)＝12x在R上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)．答案D考向二不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是()．A．1B．2C．3D．4[审题视点]利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．解析∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，∴(1)错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，∴(2)正确．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，∴(3)正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确，故选C.答案C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练2】已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③ca＞db.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析命题1：若ab＞0，ca＞db，则bc＞ad；命题2：若ab＞0，bc＞ad，则ca＞db；命题3：若ca＞db，bc＞ad，则ab＞0.答案D考向三不等式性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴m＋n＝4，m－n＝－2，∴m＝1，n＝3.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【训练3】若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网由x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.[审题视点]充分运用已知条件及不等式性质进行求证．证明∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴1a－b＞1a－c＞0.∴1a－b＋1c－a＞0.又b－c＞0，∴1b－c＞0.1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．【训练4】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网一、作差法【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是()．A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin2π5，则()．A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a