高考一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2015年高考会这样考】1．考查三角函数的定义及应用．2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，它们都是我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合β|β＝π2＋kπ，k∈Z；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为ββ＝kπ2，k∈Z.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网．－55B.255C．－255D．－12解析由三角函数的定义可知，r＝5，cosα＝－15＝－55.答案A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝y16＋y2＝－255⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．[审题视点]利用终边相同的角进行表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为αα＝π3＋kπ，k∈Z.(2)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π⇒－37≤k＜187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜α2＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜α2＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜α2＜m·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角．(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为xx＝2kπ－π2，k∈Z，也可以表示为xx＝2kπ＋3π2，k∈Z.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝3＋m2，∴m3＋m2＝24m，∵m≠0，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网∴m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝5－3＝－153.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tan＝yx＝－5－3＝153.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±55，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.答案B考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·1032＝12×10×1032＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，S＝12lr＝12r(40－2r)＝r(20－r)≤2022＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[审题视点]作出满足sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．解我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式．【训练4】求下列函数的定义域：(1)y＝2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网