高三第一轮复习数学---两个平面垂直

人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第1页共4页高三第一轮复习数学---两个平面垂直一、教学目标：1．掌握平面与平面垂直的概念和判定定理性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题。2．在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获得解决二、教学重点：两平面垂直的定义、判定、性质应用。三、教学过程：（一）主要知识：一）（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做两面角。（2）两面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：,0（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。一）平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）二）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是.：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。特别注意:用定义时二面角平面角的确定。（二）例题分析：【例1】(1)对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nαC、m∥n，n⊥β，mαD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。0BAαβαβ人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第2页共4页其中错误的．．．命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确．．．的三个是（）〖解析〗（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。对B，平面α内直线n垂直两个平面交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。对D，m⊥α，m∥n则n⊥α又n⊥β所以α∥β。只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理，α⊥β。故选C。（2）①正确过a上任一点作b的平行线b，，则ab，确定唯一平面。②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b但a、b异面却不一定垂直。③正确分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D(3)丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n）在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。〖思维点拨〗；解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。【例2】如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=600，∠BSC=900，求证平面ABC⊥平面BSC。〖证明〗∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=600。∴ＡＢ＝ＡＣ，取ＢＣ的中点Ｏ，连ＡＯ、ＳＯ，则ＡＯ⊥ＢＣ，ＳＯ⊥ＢＣ，∴∠ＡＯＳ为二面角的平面角设ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ＝ａ又∠ＢＳＣ＝９００，∴ＢＣ＝2ａ，ＳＯ＝22ａ，ＡＯ２＝ＡＣ２－ＯＣ２＝ａ２－21ａ２＝21ａ２∴ＳＡ２＝ＡＯ２＋ＯＳ２∴∠ＡＯＳ＝９００，从而平面ＡＢＣ⊥平面ＢＳＣ。〖证明〗要证两平面垂直，证明其二面角的平面角为直角，也是常用方法。【例3】如图ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ＝ＡＤ＝ａ，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＰＣ的中点。（１）求平面ＰＣＤ与平面ＡＢＣＤ所成二面角的大小；（２）求证：平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤ〖解〗（１）ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＣＤ⊥ＡＤ，∴ＰＤ⊥ＣＤ，故∠ＰＤＡ为平面ＡＢＣＤ与平面ＰＣＤ所成二面角的平面角，在Ｒｔ⊿ＰＡＤ中ＰＡ＝ＡＤ∴∠ＰＤＡ＝４５０即为所求。（２）证明：取ＰＤ中点Ｅ，连ＥＮ、ＥＡ，则ＥＮ∥21ＣＤ∥ＡＭ，∴四边形EＮＭA是平行四边形，∴AE⊥ＮＭ。∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而ＮＭ⊥平面PCD，∵ＮＭ平面ＭＮＤ，∴平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤ〖思维点拨〗证明面面垂直通常可先证线面垂直，证线面垂直时有时可先证该直线的平行线与平面垂直。【例4】如图正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｆ、Ｍ、Ｎ分别是Ａ１Ｂ１、ＢＣ、Ｃ１Ｄ１、Ｂ１Ｃ１的中点。ACSBOＰＡＥＮＤＭＢＣＡ１ＡＤ１Ｃ１Ｂ１ＨＡＥＡＭＡ１ＮＡ１人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第3页共4页（１）求证：平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。（２）求二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切值。（１）〖证明〗∵Ｍ、Ｎ、Ｅ是中点，∴ＭＮ⊥ＥＮ。又ＮＦ⊥平面Ａ１Ｃ１，∴ＭＮ⊥ＮＦ，从而ＭＮ⊥平面ＥＮＦ∵ＭＮ平面ＭＮＦ，∴平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。（２）〖解〗过Ｎ作ＮＨ⊥ＥＦ于Ｈ，连结ＭＨ。∵ＭＮ⊥平面ＥＮＦ，ＮＥ为ＭＨ在平面ＥＮＦ内的射影，由三垂线定理得ＭＨ⊥ＥＦ，∴∠ＭＨＮ是二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角。在Ｒｔ⊿ＭＮＨ中，求得ＭＮ＝22ａ，ＮＨ＝33ａ，∴ｔａｎＭＨＮ＝26NHMN，即为二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切。〖思维点拨〗平面角的二面角找法有：定义法、三垂线定理法、垂面法。（三）巩固练习：1：(1)对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（C）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，nαC、m∥n，n⊥β，mαD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的．．．命题为（D）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②2：α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线。给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α。以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题------------正确命题为①③④→②、②③④→①3：如图ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ＝ＡＤ＝ａ，Ｍ、Ｎ分别是ＡＢ、ＰＣ的中点。（１）求平面ＰＣＤ与平面ＡＢＣＤ所成二面角的大小；（２）求证：平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤ〖解〗（１）ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＣＤ⊥ＡＤ，∴ＰＤ⊥ＣＤ，故∠ＰＤＡ为平面ＡＢＣＤ与平面ＰＣＤ所成二面角的平面角，在Ｒｔ⊿ＰＡＤ中ＰＡ＝ＡＤ∴∠ＰＤＡ＝４５０即为所求。（２）证明：取ＰＤ中点Ｅ，连ＥＮ、ＥＡ，则ＥＮ∥21ＣＤ∥ＡＭ，∴四边形EＮＭA是平行四边形，∴AE⊥ＮＭ。∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，ＰＡＥＮＤＭＢＣ人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露第4页共4页从而ＮＭ⊥平面PCD，∵ＮＭ平面ＭＮＤ，∴平面ＭＮＤ⊥平面ＰＣＤ〖思维点拨〗证明面面垂直通常可先证线面垂直，证线面垂直时有时可先证该直线的平行线与平面垂直。四、小结：在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的第一线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。五、作业：