高三第一轮复习等比数列教案

高三第一轮复习《数列》5.3等比数列一、考点分布1.等比数列的概念（B）2.等比数列的通项公式与前n项和的公式（C）二、考试要求1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.三、重点与难点1.熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2.判断或证明数列的等比关系是复习的难点.四、复习过程1.知识梳理等差数列等比数列定义1nnaqa或212nnnaaa注意；0,0.naq通项公式11nnmnmaaqaq（离散型指数函数）前n项和公式11,1,(1),1.1nnnaqSaqqq注意q含字母讨论简单性质若*(,,,)mnstmnstN,则mnstaaaa.2.基础练习（1）在等比数列{}na中，已知3331,4aS，则6a__________.提示：-8方法一：基本量法列出1,ad方程组；方法二：求和公式（2）在等比数列{}na中，已知1S，22S，33S成等差数列，则公比q=_________.提示：由题意，得21111114()3()aaqaaaqaq，故(31)0qq.又0q,所以13q.说明：等比数列通项公式与和nS之间的联系，注意0,0.naq（3）已知数列{}na是等比数列,且0na,*nN,354657281aaaaaa，则46aa9．（4）设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（A）2(81)7n（B）12(81)7n（C）32(81)7n（D）42(81)7n3.典型例题例1.（1）若等比数列{an}的公比q＜0，前n项和为Sn，则S2a3与S3a2的大小关系是(A)S2a3＞S3a2(B)S2a3＜S3a2(C)S2a3=S3a2(D)不确定（2）已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋3(n∈N*)，则{an}的通项公式为_______．例2.若数列}{na{}:nb满足1211,(),(1,2,3,).nnnaaaabaan为常数且（Ⅰ）若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；（Ⅱ）当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：（1）因为{an}是等比数列a1=1,a2=a.∴a≠0，an=an－1.又1nnnbaa，12112211211,nnnnnnnnnnbaaaabaaaabaaaa则,即}{nb是以a为首项,a2为公比的等比数列.22(||1),(1)(||1).1nnnaaSaaaa（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{bn}的公比为q，则112210nnnnnnnnbaaaqabaaa且又a1=1,a2=a,a1,a3,a5,…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；而a2,a4,a6,…,a2n,…是以a为首项，q为公比的等比数列，即{an}为：1，a,q,aq,q2,aq2,….当q=a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列.例3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）13521naaaa的值.解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111nSaann.313131112aSa321243123111222114(),3391116().332711()(2),334,(2),3114,()(2).3331,1,,{}14(),2.33nnnnnnnnnnnnaSaaaSaaaaaSSanaanaannaan由得又所以所以数列的通项公式为（Ⅱ）由（I）可知a3，a3，…，a2n-1，是首项为4,9公比为（34）2的等比数列，所以11135212161()4341691().497791()3nnnaaaa例4.（备选）设数列{an}的首项a1=a≠41，且11为偶数21为奇数4nnnanaan,记2114nnba，n＝＝l，2，3，…·．（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；4.规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.naq②判断或证明等比数列的两种思路：利用定义，证明1nnaqa为常数;利用等比中项，证明212nnnaaa对*nN成立.③方程思想：在1,,,,nnaaqSn五个两种，运用待定系数法“知三求二”；函数思想与分类讨论：当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时为递增数列;当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q=1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若{}na是公比为q等比数列，则22311{},{},{},{},{}nnmmnkaaaaa等还成等比数列，公比分别是2231,,,,kqqqqq，其中为非零常数.若*(,,,)mnstmnstN,则mnstaaaa.5.课外作业：海淀总复习检测P465.3等比数列每课作业1．选择题（1）等比数列na的各项都是正数，若181a,516a,则它的前5项和是()(A)179(B)211(C)243(D)275(2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()(A)210(B)220(C)216(D)215(3)给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2－2ax+c=0（）(A)无实数根(B)有两个相等的实数根(C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________.(5)在1n和1n之间插入n个正数,使这2n个正数成等比数列,则插入的n个正数之积为_________.(6)一张报纸，其厚度为a，面积为b.现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的厚度为_______,报纸的面积为.3．解答题（7）在数列na中，已知1221nnaaa，求数列2{}na前n项的和.(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.(9)数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．参考答案（1）B（2）B（3）A（4）设Rt△ABC中，C=2π，则A与B互余且A为最小内角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得sinA=215或sinA=215（舍）.故最小内角是51arcsin2.（5）(5)21()nnn(6)128128ba（7）解:由由已知得,21nna所以数列2{}na前n项的和为)14(31n（8）解：设三个数分别为a-d,a,a+d则（a－d）＋a＋(a＋d)=3a＝6a=2三个数分别为2－d,2,2＋d∵它们互不相等∴分以下两种情况：当(2－d)2=2(2＋d)时，d=6三个数分别为-4,2,8当(2＋d)2=2(2－d)时，d=-6三个数分别为8,2,-4因此，三个数分别为-4,2,8或8,2,-4(9)（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc．又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当1n时，上式也成立，所以22(12)nannn，，．