高三高考数学国步分项分类题及析答案二一

4高三高考数学国步分项分类题及析答案二一-5简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为()A.1010B．－1010C.31010D．－31010[答案]C[解析]设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0α2π2，∵2cos2α2－1＝cosα，∴sinβ＝sin(π2－α2)＝cosα2＝cosα＋12＝31010，故选C.(理)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)＝cos2x＋3sinxcosx在区间[－π4，π3]上的最大值为()A.12B.1＋32C．1D.32[答案]D[解析]f(x)＝1＋cos2x2＋32sin2x＝sin2x＋π6＋12∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6，∴－32≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为32.2．(文)已知tanα＝－2，则14sin2α＋25cos2α的值是()A.257B.725C.1625D.925[答案]B[解析]14sin2α＋25cos2α＝14sin2α＋25cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋25tan2α＋1＝725.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝()A．－145B．－75C．－2D.45[答案]C[解析]∵点P在直线y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.3．(2012·大纲全国文)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3[答案]C[解析]本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sinx＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋kπ，即φ＝3π2＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解．4．(2012·北京海淀期中练习)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．钝角三角形[答案]C[解析]由题意得，cosAcosB＝12·2sin2C2⇒cosA·cosB＝1－cosC2⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C.5．(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.3C．1D.33[答案]C[解析]由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.(理)已知cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，且α∈0，π2，β∈－π2，0，则sinα＝()A.3365B.6365C．－3365D．－6365[答案]A[解析]∵0απ2－π2β0，∴0α－βπ，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝45；∵－π2β0，且sinβ＝－513，∴cosβ＝1213.从而sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3365.6．(文)设5π2θ3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为()A.105B．－105C．－155D.155[答案]C[解析]∵5π2θ3π，∴cosθ0，∴cosθ＝－15.∵5π4θ23π2，∴sinθ20，又cosθ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－cosθ2＝35，∴sinθ2＝－155.(理)已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35[答案]B[解析]cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.7．(文)在△ABC中，acos2C2＋ccos2A2＝32b，则()A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列[答案]A[解析]∵acos2C2＋ccos2A2＝32b，∴a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝32b，∴(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝3b，∵acosC＋ccosA＝b，∴a＋c＝2b，∴a、b、c依次成等差数列．(理)(2012·河南六市联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0,0φπ)，其导函数f′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝4sin(12x＋π4)B．f(x)＝2sin(12x＋π4)C．f(x)＝2sin(x＋π4)D．f(x)＝4sin(12x＋3π4)[答案]A[解析]f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由图象知，2πω＝2×(3π2－(－π2))，∴ω＝12，又Aω＝2，∴A＝4，∴f′(x)＝2cos(12x＋φ)，由f′(x)的图象过点(π2，0)得，cos(π4＋φ)＝0，∵0φπ，∴φ＝π4，∴f(x)＝4sin(12x＋π4)，故选A.8．已知sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析]∵α，β∈(0，π2)，sinα＝35，cosβ＝35，∴cosα＝45，sinβ＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．已知：sinα＋cosα＝15，πα2π，则cosα2＝________.[答案]－31010[解析]∵sinα＋cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1，πα2π，∴sinα＝－35，cosα＝45，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－31010.10．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2·tanC2的值是________．[答案]3[解析]∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，A＋C＝2π3，∴tanA2＋tanC2＋3tanA2·tanC2＝tanA2＋C21－tanA2·tanC2＋3tanA2tanC2＝3.能力拓展提升11.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为()A.14B.12C．2D．4[答案]C[解析]原式＝sin30°－20°＋sin30°＋20°sin45°－10°·sin45°＋10°＝2sin30°cos20°12cos210°－12sin210°＝cos20°12cos20°＝2.12．(文)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)＝cos2x＋3sinxcosx在区间[－π4，π3]上的最大值为()A.12B.1＋32C．1D.32[答案]D[解析]f(x)＝1＋cos2x2＋32sin2x＝sin2x＋π6＋12，∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6，∴－32≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为32.(理)在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2C2，∴12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．13．已知sinθ＋cosθ＝713，且π2θπ，则cos2θ的值是________．[答案]－119169[解析]由sinθ＋cosθ＝713sin2θ＋cos2θ＝1消去cosθ得，sin2θ－713sinθ－60169＝0，∵π2θπ，∴sinθ0，∴sinθ＝1213，∴cos2θ＝1－2sin2θ＝－119169.14．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC的内角，且tanα＝－34，则sin2α的值为________．[答案]－2425[解析]∵tanα＝－34，∴sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝2×－34－342＋1＝－2425.15．(文)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．[解析](1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6，从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.(理)已知向量m＝3cosx4，cosx4，n＝sinx4，cosx4.(1)若m·n＝3＋12，求cosx＋π3的值；(2)记f(x)＝m·n－12，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．[解析](1)m·n＝3＋12＝3cosx4sinx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12，即sinx2＋π6＝32，所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝－12.(2)f(x)＝m·n－12＝sinx2＋π6，则f(A)＝sinA2＋π6，因为(2a－c)cosB＝bcosC，则(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinA，则B＝π4，∴A∈0，34π，A2＋π6∈π6，13π24，则f(A)∈12，1.16．(文)(2012·湖南文，18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．[解析](1)由题设图象知，周期T＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0φπ2，所以5π65π6＋φ4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,