高中习题数学选修4-1-2

选修4-1第2节[知能演练]一、填空题1．一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆圆或椭圆2．如下图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________.解析：由弦切角定理，可知∠DCA＝∠B＝60°，又AD⊥l，故∠DAC＝30°.答案：30°3．一个圆的两弦相交，一条弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k0)，由相交弦定理，得3k·8k＝12×18，解得k＝3，故所求弦长为3k＋8k＝11k＝33cm.答案：33cm4．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R的长为________．解析：如右图，连接AB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠C，又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴PAAC＝PBAB，即PA2R＝PBAB，∴R＝PA·AB2PB＝2×22－122×1＝3.答案：35．已知如下图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．解析：∵AC、AD分别是两圆的切线，∴∠C＝∠2，，1＝∠D，∴△ACB∽△DAB.∴BCAB＝ABBD，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝8＝22(舍去负值)．答案：226．如右图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.解析：设圆的半径为r，AD＝x，连接OD，得OD⊥AC，故ADAC＝ODBC，即x8＝r6，故x＝43r.又由切割线定理得AD2＝AE·AB，即169r2＝(10－2r)×10，故r＝154.由射影定理知DF＝3.答案：3二、解答题7．如下图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明：连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O中弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解：由(1)，得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)，得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.8．如右图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证：AB2＝AE·BC.(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．(1)证明：因为BE切⊙O于B，所以∠ABE＝∠ACB.由于AD∥BC，所以∠BAE＝∠ABC.所以△EAB∽△ABC.所以AEAB＝ABBC.故AB2＝AE·BC.(2)解：由(1)，知△EAB∽△ABC，所以BEAC＝ABBC.又AE∥BC，所以EFAF＝BEAC.所以ABBC＝EFAF.又AD∥BC，所以AB＝CD.所以AB＝CD.所以58＝EF6.所以EF＝308＝154.[高考·模拟·预测]1．如右图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.解析：连结OA、OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P、A、O、B四点共圆，故∠APB＝60°.答案：60°2．如右图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析：由切割线定理知，PC2＝PA·PB，解得PC＝23.又OC⊥PC，故CD＝PC·OCPO＝23×24＝3.答案：33．如下图，圆O和圆O′相交于A、B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD＝________.解析：易证△CBA∽△ABD，所以BCAB＝ABBD，BD＝8.答案：84．如右图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．知∠AOB＝2∠ACB＝90°，在Rt△OAB中，得OA＝22，即r＝22，∴S＝πr2＝8π.答案：8π5．如右图，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD到E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．解：(1)如右图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.对顶角∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC.连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.