高中函数解析式的八种方法

高中函数解析式的八种方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知)]([xgf或)]([xfg，求)(xf或)(xg，或已知)(xf或)(xg，求)]([xgf或)]([xfg等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：例1：设23)1(2xxxf，求)(xf.解：2]1)1[(3]1)1[(23)1(22xxxxxf=6)1(5)1(2xx65)(2xxxf例2：设21)]([xxxff，求)(xf.解：设xxxxxxff111111121)]([xxf11)(例3：设33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)]([xgf.解：2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333故2962)3()]([24623xxxxxxgf例4：设)(sin,17cos)(cosxfxxf求.解：)2(17cos)]2[cos()(sinxxfxfxxx17sin)172cos()1728cos(.二、待定系数法：例5：已知1392)2(2xxxf，求)(xf.解：显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf则cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比较系数得：1324942cbaaba解得：312cba32)(2xxxf三、换元（或代换）法：例6：已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.解：设,1txx则11tx则xxxxxxxftf11111)1()(2221)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf例7：设xxf2cos)1(cos，求)(xf.解：令1cos,1costxxt又0201cos2,1cos1txx即]0,2[,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即例8：若xxxfxf1)1()(（1）在（1）式中以xx1代替x得xxxxxxfxxf11)111()1(即xxxfxxf12)11()1(（2）又以11x代替（1）式中的x得：12)()11(xxxfxf（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf例9：设)0,,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不为其中满足，求)(xf。解：cxxbfxaf)1()(（1）用x1来代替x，得xcxbfxaf1)()1(（2）由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222四、反函数法：例10：已知2)(21xafx，求)(xf.解：设01xat，则txalog1即1logtxa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa五、特殊值法：例11：设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对于任意正整数yx,，均有xyyxfyfxf)()()(，求)(xf.解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()(设1y得：xxfxf)1(1)(即：1)()1(xxfxf在上式中，x分别用1,,3,2,1t代替，然后各式相加可得：tttttf21211)1)(2(21)(2)(2121)(2Nxxxxf六、累差法：例12：若af1lg)1(，且当12,(1)()lg,(0,)xxfxfxaaxN时满足，求)(xf.解：),0(lg)1()(1Nxaaxfxfx递推得：2lg)2()1(xaxfxf3lg)3()2(xaxfxf……………………………………2lg)2()3(affafflg)1()2(以上)1(x个等式两边分别相加，得：122lglglglg)1()(xxaaaafxf)1()2(21lg)1(xxaf12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaaaxxlg]12)1([七、归纳法：例13：已知afNxxfxf)1()(),(212)1(且，求)(xf.解：aaffaf2124212)1(212)2(,)1(aaff202124)212(212)2(212)3(aaff312124)413(212)3(212)4(aaff422124)81213(212)4(212)5(………………………………，依此类推，得axfxx132124)(再用数学归纳法证明之。八、微积分法：例14：设2)1(,cos)(sin22fxxf，求)(xf.解：xxxf222sin1cos)(sin)1|(|1)(xxxf因此cxxdxxdxfxf221)1()()(2322112)1(ccf)1|(|2321)(2xxxxfA、)()(xfTxfB、)(1)()(1)(xfTxfxfTxf或