高考专题训练五空间几何体

高考专题训练五空间几何体班级________姓名________时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：由三视图可知，该几何体的直观图为B.答案：B2．(2011·辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．23C．2D.3解析：设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a，则34a2·a＝23，∴a3＝8，∴a＝2，由俯视图知，该正三棱柱如图ABC－A1B1C1，其侧(左)视图即为矩形CDD1C1，其面积为3×2＝23.答案：B3．(2011·山师大附中高三模拟)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④解析：根据给出的正(主)视图和侧(左)视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组合而成，由于正(主)视图和侧(左)视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱组合而成的．而第⑤个俯视图中，有两处与已知不符，一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正(主)视图与侧(左)视图为两个相同的矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正(主)视图中底层的矩形应有一条中位线，这与已知不符合，所以⑤不可能，故选D.答案：D4．(2011·湖北)设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半解析：设球的内接正方体的边长为a，球的半径为R，∴2R＝3a，∴R＝32a.∴V1＝43πR3＝43π·338a3＝32πa3，V2＝a3，∴V1＝32πV2≈2.5V2，∴V1－V2≈1.5V2.答案：D5．(2011·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32B．16＋162C．48D．16＋322解析：由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥S底＝4×4＝16，S侧＝4×12×4×22＝162∴S表面积＝S底＋S侧＝16＋162.答案：B6．(2011·辽宁)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为()A.33B.233C.433D.533解析：如图所示．∠ASC＝∠BSC＝45°且OS＝OB＝OA＝OC＝2，∴△SOB，△SOA为全等的等腰直角三角形，且SC⊥OB，SC⊥OA，又OA∩OB＝O，∴SC⊥平面AOB又∵AB＝OB＝OA＝2，∴△AOB为等边三角形∴VS－ABC＝VS－AOB＋VC－AOB＝13·S△AOB·SC＝13×3×4＝433.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·全国新课标版)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析：令球心为O，圆锥底面圆圆心为O′，球半径为R，圆锥底面圆半径为r，则316·4πR2＝πr2，∴r＝32R，在Rt△AOO′中，OO′＝AO2－AO′2＝R2.故hH＝R－R2R＋R2＝13.答案：138．(2011·洛阳市高三模拟)图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知2＋4h2＋2h1＋2h＝14，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.答案：39．(2011·北京市海淀区高三第二学期练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．解析：依题意得三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积之比等于1.答案：110．一个几何体的三视图如图所示，已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形，侧(左)视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是________．解析：由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3.所以V＝1×1×3＝3.答案：3三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·浙江省宁波市)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求二面角A－CF－B的余弦值；(3)求多面体A－CDEF的体积．解：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝4，DE＝CF＝42，∠CBF＝π2.(1)证明：连接BE，易知BE通过点M，连接CE.则EM＝BM，CN＝BN，∴MN∥CE，又CE⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作BQ⊥CF于Q，连接AQ，∵平面BFC⊥平面ABFE，平面ABFE∩平面BCF＝BF，AB⊂平面ABFE，AB⊥BF，∴AB⊥平面BCF，又CF⊂平面BCF，∴AB⊥CF，又BQ⊥CF，AB∩BQ＝B，∴CF⊥平面ABQ，∵AQ⊂平面ABQ，∴AQ⊥CF，故∠AQB为所求二面角的平面角．在Rt△ABQ中，tan∠AQB＝ABBQ＝422＝2，则cos∠AQB＝33，故所求二面角的余弦值为33.(3)多面体A－CDEF的体积V＝2×VA－CEF＝2×VC－ABF＝2×13S△ABF·BC＝643.12．(13分)(广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)、(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.分析：(1)根据正(主)视图和俯视图可以知道其侧(左)视图和正(主)视图是完全相同的；(2)根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40cm、高为20cm的长方体，上半部分四棱锥的高为60cm，根据公式计算即可；(3)根据正四棱锥的性质进行证明．解：(1)该安全标识墩侧(左)视图如右图所示．(2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝13×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如右图所示，连接HF、EG.由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又∵ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH.设点O是EFGH的对称中心，连接PO.∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.点评：解这类给出了直观图和三视图中的两个图形的题目，只要根据直观图得出另一个视图的形状，再根据给出的两个视图上标注的几何量，在第三个视图上标注上几何量即可．