高中幂函数基础不好的一看就懂

【本讲教育信息】一.教学内容：3.3幂函数3.4函数的应用（II）二.教学目的1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况。2、利用计算工具比较指数函数，对数函数以及幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。3、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数）的实例，了解函数模型的广泛应用。三.教学重点、难点重点：（1）幂函数的定义、图象和性质（2）建立数学模型难点：（1）幂函数的图象的位置和形状变化（2）建立数学模型四.知识分析（一）关于幂函数1.幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。①在这里我们只讨论a是有理数时的简单的幂函数。②掌握幂函数的关键一定要明确“形如的函数”这句话的重要作用。函数“”等都是幂函数，而象“”等就不是幂函数。足见幂函数对格式要求之严格。③对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同：（1）当指数n是正整数时，定义域是R。（2）当指数n是正分数时，设（p,q是互质的正整数，q1），则。如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是[0,＋∞)。（3）当指数n是负整数时，设显然x不能为零，所以定义域是（4）当指数n是负分数时，设（p,q是互质的正整数，q1），则。如果q是奇数，定义域是；如果q是偶数，定义域是（0,＋∞）。2.幂函数的图象与性质幂函数部分的内容是学习的难点，要突破这个难点，关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图，因为有了草图，有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然，而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。（1）第一象限内图象规律总结（结合图形）：①n1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，下凸递增。②n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。③0n1时，过（0，0）、（1，1）的抛物线型，上凸递增。④n＝0时，变形为y＝1(x≠0)，平行于x轴的射线。⑤n0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。通过观察图象，我们还可以发现：在直线x＝1的右侧，各种幂函数的图象随着指数n的增大从下向上排列；且直线y＝1和y＝x把第一象限内直线x＝1右侧部分分成3个部分，n0的幂函数的图象都在①号部分里，0n1的幂函数图象都在②号部分里，n1的图象都在③号部分里，分布得相当有规律。在直线x＝1的左侧，同样有类似的规律，同学们可以自己发现。其实有上面的规律足够用了。（2）整个图象的规律：设（p,q是互质，p∈Z，q∈N）①任何幂函数在第一象限必有图象，在第四象限必无图象；②时，函数非奇非偶，只在第一象限有图象；③时，函数是偶函数，图象在第一、二象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于y轴对称。④时，函数是奇函数，图象在第一、三象限都有图象（坐标轴上也可能有）并关于原点对称。（3）快速作幂函数图象的步骤：不管n取什么有理数，幂函数的公共定义域为（0，＋∞），可见幂函数在第一象限内总有图象，因此作幂函数图象应先从第一象限入手：①先作出第一象限内的图象；②若幂函数的定义域为（0，＋∞）或[0，＋∞]，作图已经完成；若幂函数在（－∞，0）或（－∞，0）上也有意义，则应先判断函数的奇偶性，再利用奇函数或偶函数的性质作出在（－∞，0）或（－∞，0）部分的图象。（4）掌握下面几个典型的幂函数的图象和性质是很有必要的：n0n＝0函数y＝xn定义域{x|x≠0}(0,+∞){x|x≠0}{x|x≠0}值域{y|y≠0}(0,+∞)(0,+∞){y|y＝1}奇偶性奇函数非奇非偶偶函数偶函数单调性(-∞,0)↓，(0,+∞)↓(0,+∞)↓(-∞,0)↑，(0,+∞)↓不增不减图象0n1n＝1n1R[0,+∞)RRRR[0,+∞)R[0,+∞)R奇函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞，+∞)↑(-∞,0]↓,[0,+∞)↑(-∞,+∞)↑（二）关于函数的应用数学来源于生活，又服务于生活，在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学模型是提出问题和解决问题的必由之路。掌握函数的基本知识是学好本节内容的前提，例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质。反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性。在函数建模的学习过程中，一方面要求同学们注意熟悉相关实际背景，另一方面要注意总结整理常用的函数模型。同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法。在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用。这部分内容常见的数学模型有:(1)平均增长率问题：如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量；(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本金和为y，存期为x，则；(3)根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系；(4)通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等。【典型例题】例1.在的条件下，。若不等式在（0，1）上成立，则n的取值是___________________________________.解析：不等式在（0，1）上成立，即f(x)在（0，1）上的图象在直线y＝x的上方，根据幂函数图象在第一象限的特点很容易得到答案：点评：幂函数图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生很大的变化。数形结合的方法是快速解决本题的关键。例2.求函数的定义域解析：原函数可化为，从而欲使函数有意义，应有，解得：，即函数的定义域是[－2，3]∪(3，＋∞)。点评：正确判断函数的定义域是完成函数图象、讨论函数的性质的前提，必须加以重视。掌握各种幂函数的定义域是解决这个问题的前提。例3.当m为何值时，幂函数的图象同时通过点（0，0）和（1，1）？解析：因为函数是幂函数，所以；又考虑到函数图象过点（0，0）和（1，1），则。即，解得：。点评：幂函数的定义是严格的定义形式，只有形如的函数才是幂函数，不能有一丝偏差，比如就不是幂函数。对几种常见幂函数的图象和性质的掌握也是解决这个题的关键。例4.比较下面各组数的大小：（1）与（2）与解析：（1）由于幂函数在（0，＋∞）上单调递减，且3.14π，所以（2）由于幂函数是奇函数且在（0，＋∞）上单调递减，从而在（－∞，0）上也单调递减，因为，所以点评：利用函数单调性比较大小是很常见的方法。第（2）题也可以先比较与的大小，再利用奇偶性最终解决问题。例5.若，求实数a的取值范围。解析：考察函数的图象，可知|x|越小，函数值越大。从而有|a+1||3-2a|,另外注意到a+1≠0和3-2a≠0，即有解得：。点评：由这个解法可以看出，深刻认识函数图象可以更巧妙地解决问题。例6.按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元）解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。已知本金是a元，一期后的本利和为；二期后的本利和为；三期后的本利和为；……x期后的本利和为。将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得：（计算器算出）答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。例7.设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系是，其中c,k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105Pa，1000m高空的大气压强为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c＝1.01×105，代入②，得：，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4，从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104答：在600m高空得大气压强约为9.42×104Pa。点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。例8.20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？解析：（1）因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。（2）由可得当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6；当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。所以，两次地震的最大振幅之比是故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。【模拟试题】1.如图，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n取±2，四个值，相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为（）（A）（B）（C）（D）2.函数的定义域是（）（A）R（B）（C）（D）3.的大小关系是（）（A）cba（B）cab（C）bac（D）acb4.下列结论中，正确的是（）（A）幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）（B）幂函数的图象可以出现在第四象限（C）当幂指数n取1，2，3，时，幂函数是增函数（D）当幂指数n＝－1时，幂函数是减函数5.当0ab1时，下列不等式中正确的是（）（A）（B）（C）（D）6.某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天长成4米，那么长成米需要（）天。（A）（B）5（C）12（D）167.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76％，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，那么，x,y之间的函数关系是（）（A）（B）（C）（D）8.函数的奇偶性是__________________9.我国GDP计划从2000年到2010年翻一番，平均每年的增长率为___________________10.求函数的值域。11.设函数，如果，求x0的取值范围，并画图加以说明。12.某公司拟投资100万元，有两种获利方式可以选择：一种是年利率10％，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9％，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？13.家用电器（如电冰箱）使用的制冷剂氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q呈指数型函数变化，满足关系式，其中Q0是臭氧的初始含量。（1）随时间的增加，臭氧含量将是增加还是减少？（2）多少年后，臭氧含量是现在的一半？