高中必修1-5错误解题分析系列-《11.1数系的扩充与复数的概念》

§11.1数系的扩充与复数的概念一、知识导学1.复数：形如bia的数（ba,R），复数通常有小写字母z表示，即biaz,其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数bia(ba,R)中，当0b时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0时，bia叫做虚数；当0a,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数bia与dic的实部与虚部分别相等，记作：bia=dic.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=bia,则向量oz的长度叫做复数bia的模（或绝对值），记作bia.(1)22babiaz；(2)21zz=12zz；(3)2121zzzz；7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．,Rz则02z，而Cz，则02z不一定成立，如iz时012i；3．22,zzRz，而Cz则22zz不一定成立；4．若,,,321Czzz0)()(232221zzzz不一定能推出321zzz；5．若Rzz21,，则21zz=212214)(zzzz，但若,,21Czz则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共扼复数的差是（）A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数错解:当得到bizz2时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为biaz及),(Rbabiaz则bizz2或bizz2当0b时，zz，zz为纯虚数当0b时，0zz，0zz，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确(1)若Cz,则02z(2)若,,21Czz且021zz，则21zz(3)若ba，则ibia错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设iz则0122iz(2)错，反例设iz21，iz12，满足0121zz，但1z2z不能比较大小.(3)错，ba，Rba,，故ia，ib都是虚数，不能比较大小.[例3]实数a分别取什么值时，复数iaaaaaz)152(3622是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362aaaaaa，虚部)5)(3(1522aaaa.（1）当时，z是实数；（2）当，且时，z是虚数；（3）当或时是纯虚数．[例4]设izRmimmmmz35),()34()32(2221，当m取何值时，(1)21zz;(2)01z.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数的方程，求出的值．解：(1)由可得：33453222mmmm解之得4m，即：当时(2)当可得：或，即时01z.[例5]21,zz是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且024222121zzzz，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．分析本题起步的关键在于对条件024222121zzzz的处理．等式左边是关于21,zz的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由024222121zzzz（，不为零），得3sin3cos21431832221221izzziziz即向量OP与向量OQ的夹角为3，在图中，3POQ，又||21||21zz，设rzrz2||,||21，在△OPQ中，由余弦定理△OPQ为直角三角形，．四、典型习题导练1.设复数z满足关系izz2||，那么z等于（）．A．B．C．D．2.复数系方程062)1()1(2ixixi有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知zzzf1)(且,310)(izf求复数z5.设复数z满足5z且zi)43(在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252Rmmz求mz和的值