高中数列经典习题(含答案)

1、在等差数列{an}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.3、数列{na}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为nS,求nS的最大值;(3)当nS是正数时,求n的最大值.4、设数列{na}的前n项和nS.已知首项a1=3,且1nS+nS=21na,试求此数列的通项公式na及前n项和nS.5、已知数列{na}的前n项和31nSn(n＋1)(n＋2),试求数列{na1}的前n项和.6、已知数列{na}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设2122iiiaxaxa=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;(2)设这些方程的另一个根为im,求证111m,112m,113m,…,11nm,…也成等差数列.7、如果数列{na}中,相邻两项na和1na是二次方程nnncnxx32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.8、有两个无穷的等比数列{na}和{na},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1na,试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列{na},{nb}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且na,nb,1na成等差数列,nb,1na,1nb成等比数列,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中mn)，求数列{xn}的前m＋n项的和。11、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10．12、已知等差数列{an}的前项和为Sn，且S13＞S6＞S14,a2=24．(1)求公差d的取值范围；（2）问数列{Sn}是否成存在最大项，若存在求,出最大时的n，若不存在,请说明理由．13、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项的为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．14、设正项数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn的等比中项相等，求证数列{nS}为等差数列，并求{an}通项公式及前n项和．15、已知数列na是公差不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，且.17,5,1321bbb①求q的值；②求数列nb前n项和.16、若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．答案：1、解：a1=－250,d=2,an=－250+2(n－1)=2n－252同时满足70≤n≤200,n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}.b1=a70=－112,b2=a77=－98,…,bn′=a196=140其公差d′=－98－(－112)=14.由140=－112+(n′－1)14,解得n′=19∴{bn}的前19项之和2661421819)112(19S.2、解：(Ⅰ)依题意,有02)112(1212112daS02)113(1313113daS，即)2(06)1(011211dada由a3=12,得a1=12－2d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得030724dd，∴3724d.(Ⅱ)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,a7＜0.由此得a6＞－a7＞0.因为a6＞0,a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.3、(1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大,S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则nS=21n(50－4n),设nS＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.4、∵a1=3,∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6.由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1)Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1即an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=.2,32,1,31时当时当nnn此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n–1=3＋13)13(321n=3n.5、na=nS－1nS=31n(n＋1)(n＋2)－31(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=31×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1=S1.则na＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴)111()3121()211()1(143132121111121nnnnaaan＝1－11n＝1nn.6、(1)设公共根为p,则02212iiiapapa①023221iiiapapa②则②-①,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为im,则im＋(－1)=iiiadaa2221.∴im+1=iad2即damii211,易于证明{11im}是以－21为公差的等差数列.7、解由根与系数关系,na＋1na=－3n,则(1na＋2na)－(na＋1na)=－3,即2na－na=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则ka2=－3k－2,∴a100=－152,12ka=－3k＋5,∴a101=－148,∴c100=a100a101=224968、设首项分别为a和b,公比q和r.则有1,1rq.依据题设条件,有qa1=1,①rb1=2,②121nnbraq,③由上面的①,②,③可得(1－q)222nq=2(1－r)1nr.令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤由④和⑤,可得q2=r,代入④得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q=31,r=91.因此可得a=1－q=34,b=2(1－r)=916.∴3134qa和91916rb经检验,满足nnba2的要求.9、依据题设条件,有111)(21nnnnnnbbaaab由此可得)(2111nnnnnbbbbb=)(2111nnnbbb.∵nb＞0,则211nnnbbb。∴{nb}是等差数列.∴nb=2)1(2n.又2212nbbannn2)1(2n=22)1(nn,∴na=)1(21nn10、2m+n-111、解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则：4221)21(2qdqd解得：22,83qd∴32)22(3111,855451010110110qqbTdaS12、解：(1)由题意：0)(40711101487614101387613aaaaaSSaaaaSS∴)1748,3(01720822ddada（2）由（1）知，a10＞0,a10+a11＜0,∴a10＞0＞a11，又公差小于零，数列{an}递减，所以{an}的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。∴n=10时，Sn最大。13、解：设该等比数列为{an}，且公比为q若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故q≠1。65601180112121qqaSqqaSnnnn两式相除，得1+qn=82，qn=81，∴111qaq=a1+1＞1，数列{an}为递增数列，前n项中最大的项为an=a1qn-1=54811qa解得：a1=2,q=314、证明：由题意：nntSat2即nnattS2当n=1时，tStSStattS121111,0)(,2当n≥2时，0)()(22121nnnnnnStSSStattS0))((11tSStSSnnnn。因为{an}为正项数列，故Sn递增，0)(1tSSnn不能对正整数n恒成立，∴tSSnn1即数列{nS}为等差数列。公差为t21,)1(tnStntnSSnn，tnanttStannn)12(,22所以数列{nS}为等差数列，{an}通项公式为an=(2n-1)t及前n项和Sn=tn2。15、①3②13nn16、设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22－＋＋①－＋＋②整理，得b=bdbdb=bd2b2d222222－＋＋－＋－∴b＋d=2b－2d即b=3d代入①，得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之，得d=4或d=0(舍)∴b=12