高中数学 函数及其表示知识点

1课题名称:函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的x，在集合B中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为__________(2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，xA叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3)函数的三要素：、和3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．下述两个个对应是A到B的映射吗？（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；（2）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．例2．若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个例3．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12个()C16个()D18个考点2：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？2（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）xxf)(1x，xxxg2)(；（4）12)(2xxxf，12)(2tttg（5）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型1：用待定系数法求函数的解析式例1.已知函数fx是一次函数,且49)]([xxff,求fx表达式.例2.已知fx是一次函数且22315,2011,fffffx则（）A．32xB．32xC．23xD．23x例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.例4.已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf例2.已知11,fxxfx则_____________。例3．已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为3题型3：求抽象函数解析式例1．已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf例2、已知：1)(3)(2xxfxf，求fx表达式.例3.设函数()fx与()gx的定义域是xR且1x,()fx是偶函数,()gx是奇函数,且1()()1fxgxx,求()fx和()gx的解析式.考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.函数2143fxxx的定义域为（）A．22，，B．2,33，C．22,33，，D．2，例2、函数xxxxf0)1()(的定义域是（）A.0|xxB.0|xxC.10|xxx且D.10|xxx且题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域例2．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域例3、已知函数)1(xfy的定义域为[-2，3]，则12xfy的定义域是_________考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例1、322xxy例2、2285yxx（1）]1,1[x（2）]4,1[x（3）]8,4[x（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域例3、132222xxxxy例4、112xxxy4（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数例5、xxy21例6、13432)(xxxf（4）分段函数分别求函数值域，例7、53xxy例8、函数222(03)()6(20)xxxfxxxx的值域是（）A．RB．9,C．8,1D．9,1（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数3243xyx的值域例9、1122xxy例10、设函数111yx的定义域为M，值域为N，那么（）()A{0},{0}MxxNyy()B{0},{}MxxNyyR()C{01,0}Mxxxx且或，{0011}Nyyyy或或()D{1100}Mxxxx或或，{0}Nyy（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（9）对勾函数法像y=x+mx，（m0）的函数，m0就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0)(0,4],求值域（2）如44yxx，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）