高中数学 指数与指数函数

2.6指数与指数函数一、填空题1．函数y＝8－4x的定义域是________．解析由8－4x≥0，得22x≤23，所以2x≤3，x≤32.答案－∞，322．函数y＝4－2－x的值域是________．解析由4－2－x≥0，且2－x＞0，得0≤4－2x＜4，所以y∈[0,2)．答案[0,2)3．已知p：关于x的不等式|x－1|＋|x－3|＜m有解，q：f(x)＝(7－3m)x为减函数，则p成立是q成立的________条件．解析p成立，得m＞|x－1＋3－x|＝2；q成立，得0＜7－3m＜1，即2＜m＜73.设A＝{m|m＞2}，B＝m|2＜m＜73，则BA，所以p是q的必要不充分的条件．答案必要不充分4.与函数()3xfx的图象关于直线y=x对称的曲线C对应的函数为g(x),则1()3g的值为______.解析依题意得g(x)=log3x所以1()3glog3113.答案-15．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3x－1，x≤0，fx－－fx－，x＞0，则f(2010)＝________.解析当x＞0时，f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝f(2008)－f(2007)－f(2008)＝－f(2007)＝f(2005)－f(2006)＝f(2005)－f(2005)＋f(2004)＝f(2004)，所以f(x)是以T＝6的周期函数，所以f(2010)＝f(335×6)＝f(0)＝3－1＝13.答案136．已知函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则g(0)，g(2)，g(3)的大小关系是________．解析因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以由f(－x)－g(－x)＝e－x，得－f(x)－g(x)＝e－x，与f(x)－g(x)＝ex联立，求得f(x)＝12(ex－e－x)，g(x)＝－12(ex＋e－x)，所以g(3)＜g(2)＜g(0)．答案g(3)＜g(2)＜g(0)7．已知1＋2x＋4x·a＞0对一切x∈(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析由题意，得a＞－14x－12x对x≤1恒成立，因为f(x)＝－14x－12x是(－∞，1]上的增函数，所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－34，所以a＞－34.答案－34，＋∞8．设函数f(x)＝2x，x＜0gx，x＞0，若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．解析因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－14.答案－149．已知函数f(x)＝log3x，x＞0，13x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为________．解析若x＞0，则由log3x≥1，得x≥3.若x≤0，则由13x≥1，得x≤0.综上，得x≤0或x≥3.答案(－∞，0]∪[3，＋∞)10．若2|x＋1|－|x－1|≥22，则x取值范围是________．解析由2|x＋1|－|x－1|≥22＝232，得|x＋1|－|x－1|≥32，于是由x＜－1，－x－1＋x－1≥32或－1≤x＜1，x＋1＋x－1≥32或x≥1，x＋1－x＋1≥32，解得x≥34.答案34，＋∞11．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是________．解析设t＝3x＞1问题转化为m＜t2＋1t－1，t∈(1，＋∞)，即m比函数y＝t2＋1t－1，t∈(1，＋∞)的最小值还小，又y＝t2＋1t－1＝t－1＋2t－1＋2≥2t－2t－1＋2＝2＋22，所以m＜2＋22.答案(－∞，2＋22)12．对于函数f(x)＝ex－e－x(x∈R)，有下列结论：①f(x)的值域是R；②f(x)是R上的增函数；③对任意x∈R，有f(－x)＋f(x)＝0成立；④若方程|f(x)|＝a有两个相异实根，则a≥0，其中所有正确的命题序号是________．解析因为e＞1，x∈R，所以f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以①②③均正确．设y＝|f(x)|＝|ex－e－x|，y＝a，画出其图象可知，当a＞0时，它们有两个相异交点，所以④不正确．答案①②③13．设函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上的取值恒不为0，且对任意实数x，y满足f(xy)＝[f(x)]y，f12＞1.若a＞b＞c且a，b，c成等差数列，则f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系是________．解析因为f(x)＝f12·2x＝f122x＝f122x是增函数f12＞1，于是由f(a)＋f(c)≥2[f(a)·f(c)]12＝2[f(a)]12[f(c)]12＝2f12a·f12c＝2f12a·f12c＝2f12a＋c＝2f122b＝2f(b)，及a＞b＞c得f(a)＋f(c)＞2f(b)．答案f(a)＋f(c)＞2f(b)二、解答题14.已知函数()2xfxa3xb,其中常数a,b满足0ab.(1)若ab0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab0,求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解析(1)当a0,b0时,因为2xa、3xb都随x的增大而增大,所以函数f(x)单调递增;当a0,b0时,因为2xa、3xb都随x的增大而减小,所以函数f(x)单调递减.(2)f(x1)()2230xxfxab.(ⅰ)当a0,b0时3()22xab解得xlog32()2ab;(ⅱ)当a0,b0时3()22xab解得xlog32()2ab.15.若方程2a＝|ax－1|(a0，且a≠1)有两解，求a的取值范围．解析原方程有两解，即直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，数形结合．当a1时，如图①，只有一个公共点，不符合题意．当0a1时，如图②，由图象可知02a1，∴0a12.16．定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．解析(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.所以a＝2，b＝1.(2)法一由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.法二由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2.又由题设条件得－2t2－2t＋12t2－2t＋1＋2＋－22t2－k＋122t2－k＋1＋20，即(22t2－k＋1＋2)·(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)0，整理得23t2－2t－k1.因底数21，故3t2－2t－k0，即上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.17．已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．解析(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a1时，a2－10，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0a1时，a2－10，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．18．如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a＞0，a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解析法一设ax＝t，g(t)＝t2－(3a2＋1)t，对称轴t＝3a2＋12当a＞1时，t＝ax是增函数，且当x≥0时，t≥1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g(t)＝t2－(3a2＋1)t在[1，＋∞)上递增，所以t＝3a2＋12≤1，解得0≤a≤33(舍去)．当0＜a＜1时，t＝ax是减函数，且x≥0时，0＜t≤1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g(x)＝t2－(3a2＋1)t在(0,1]上递减，所以t＝3a2＋12≥1，解得33≤a＜1.综上，得33≤a＜1.法二设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则由f(x)＝ax(ax－3a2－1)在[0，＋∞)上递增，得a2x1－(3a2＋1)ax1＜a2x2－(3a2＋1)ax2，即(ax1－ax2)[ax1＋ax2－(3a2＋1)]＜0.若0＜a＜1，则由0＜ax2＜ax1＜1，得ax1＋ax2－(3a2＋1)＜0,3a2＋1＞ax1＋ax2恒成立，所以3a2＋1≥2，解得33≤a＜1.若a＞1，则由ax2＞ax1＞1，得3a2＋1＜ax1＋ax2恒成立．所以3a2＋1≤2，解得a＜33(不合，舍去)．综上，得33≤a＜1.