高中数学 3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件 新人教A版选修1-2

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式：11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx•[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝1x＋2x2＋3x3；(4)y＝xtanx－2cosx.•[解析](1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝1x＋2x2＋3x3′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－3－9x－4＝－1x2－4x3－9x4.(4)y′＝xsinxcosx－2cosx′＝xsinx－2cosx′＝(xsinx－2)′cosx＋(xsinx－2)sinxcos2x＝(sinx＋xcosx)cosx＋xsin2x－2sinxcos2x＝sinxcosx＋x－2sinxcos2x＝tanx＋xcos2x－2tanxcosx.[点评]较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．练习：求下列函数的导数：(1)y=x³-2x+3(2)y＝2x－2＋3x－3(3)y＝(2x2＋3)(3x－2)(4)y＝x－sinx2·cosx2(1)y′=3x²－2(2)y′=4x＋9x²(3)y′=18x²－8x＋9(4)y′=1－1/2cosx[例2]求函数y＝sin4x4＋cos4x4的导数．[解析]∵y＝sin4x4＋cos4x4＝(sin2x4＋cos2x4)2－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.•[点评]不加分析，盲目套用求导法则，会给运算带来不便，甚至导致错误．在求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，也可少出差错．练习：求函数y＝－sinx2(1－2sin2x4)的导数．y′＝－1/2cosx.例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?441t解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.补充练习:求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23)1;yxxxyxyxyxx答案:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy;cos1)3(2xy;16)4(23xxxy1、熟记基本函数的导数公式2、掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则3、会求简单函数的导数总结：