高中数学(必修)第4册13两章

1高中数学（必修）第4册1、3两章教学内容的分析、研究东台市教育教研室一、新、旧教材的对比分析1．在新教材中，学生学了1.1任意角、弧度和1.2任意角的三角函数之后，接着就安排了“1.3三角函数的图象和性质”的内容，而将运用三角公式进行三角恒等变换的内容滞后安排.这与原教材相比，两部分内容恰好颠倒了顺序.由于三角公式要用到三角函数的周期性、奇偶性等性质导出，所以这样安排具有它的合理性.同时也相应地突出了三角函数的图象与性质广泛应用的地位.2．原教材中专门安排一节“已知三角函数值求角”，在新教材中删去了.但是在新教材的“1.3三角函数图象和性质”中插入了已知三角函数值求角的题目，如：P32例2：“求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：(1);3cosxy;2sin2)2(xyP33练习第4题，P35练习第1题，P46习题1.3第4题，P49复习题第10题等.由于已知三角函数值求角的内容在新教材中，已经不独立成节，所以在学生学习、解答这一内容的有关问题时，希望大家注意帮助小结其中的规律与方法.3．在新教材的“第三章三角恒等变换”中，新增加了一节“3.3几个三角恒等式”，将和差化积，积化和差，万能代换，半角等几组公式均安排在该节中.原教材是将这些公式零星分散在例选、练习题、习题与复习题中.这一系列公式既然系统地安排在一节内容当中，那么今后学生在解题时就可以直接应用.也可以让学有余力的学生记熟，但不得强行一刀切地向学生提出统一熟记的要求.二、新教材第4册（必修）第1章、第3章内容的课时划分按周课时5+1（5课时+1节习题课）计算，可将这两章教学内容进行如下的课时安排：2第1章19课时，第3章12课时.第一章1.1.1任意角1课时1.1.2弧度2课时1.2.1任意角的三角函数3课时1.2.2同角三角函数的关系1课时1.2.3诱导公式2课时1.3.1三角函数的周期性1课时1.3.2三角函数的图象和性质3课时1.3.3函数y=A)sin(x的图象和性质2课时1.3.4三角函数的应用2课时复习与小结2课时第三章3.1.1两角和与差的余弦2课时3.1.2两角和与差的正弦2课时3.1.3两角和与差的正切2课时3.2二倍角的三角函数3课时3.3几个三角恒等式1课时复习与小结2课时三、第1章教材分析1．本册的第1章三角函数是紧接在第1册教材第2章函数之后，继续学习的一种特殊的基本初等函数.由于引进了弧度制，又将角的概念进行了推广，容易知道定义的三角函数是一种在非空实数集上，从数到数的一种“一对一”或“多对一”的映射.2．在第1章中，1.3三角函数的图象与性质是重点教学内容，同时它也是本章的一个数学难点.特别是该节中，三角函数的周期性、单调性、奇偶性以及描绘y=A)sin(x图象时的周期与初相变换更是教学中的重中之重，它们也是现行高考中长考不衰的内容.希望各位教者花气力指导学生学好并熟练掌握这部分内容.3．该章的1.1任意角、弧度与1.2任意角的三角函数（三角函数的定义、同角三角函数关系公式、诱导公式）两节内容是后续学的基础.只有夯实基础，后面的三角函数的图象和性质与三角恒等变换才能学好.请大家务必重视这一问题.4．第一章的1.1中的弧度概念是一个数学难点.大家知道弧度制与角度制是测量角大小的两种不同的单位制.学生从小学到初中一直是采用角度制来度量角的大小，学生在小学首先接触的角度制，先入为主，一提3到角就知道1度为60分，1分为60秒.到高中学习弧度制，学生很不习惯，所以这是本章教材的一个教学难点.教者要突破这一教学重点，必须做到以下两点：（1）讲清弧度制的概念，让学生慢慢体会，给学生有一个转弯的过程，有一逐步地循序渐进地建立新概念的过程.只有新概念建立起来了，才能用弧度制来度量角的大小，才能建立实数到实数一对一或多对一的三角函数的概念.（II）对于0-2(周角)范围内的弧度与角度对照表格，要学生熟记，让学生人人过关，个个落实.这是学好这一新知识的重要一环.5．在进行1.2任意角的三角函数的教学时，应充分做好初、高中数学教学内容的衔接工作.这一节内容做好衔接工作很有必要：（I）初中已讲了锐角三角函数，到高中学习在直角坐标系中用坐标表示任意角的三角函数值时，必须从Rt△中锐角三角函数讲到新知识，体现出衔接、过渡、循序渐进.（II）在初中学生已接触了平方关系、商式关系，倒数关系等同角三角函数的关系公式，教者必须在带领学生复习初中这些公式的基础上学习新内容，将角推广为任意角，就可得现在的新公式.这样学习学生就不会感到陌生.（III）在初中学生已学习了一组诱导公式cos)2sin(,,sin)2cos(tan)2cot(,cot)2tan(到高中学习1.2.3三角函数的诱导公式时，应从初中的已学的一组诱导公式入手让学生学习其它诱导公式.到最后将这些公式概括为：“奇余偶同名，符号由角定”的口诀.这样做，无疑是非常有益的.四、第1章教材在教学中应注意的问题1．新教材P11习题1.1探究·拓展的第13题：若扇形的周长为定值l，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大.该题既可用“均值不等式”求最值，也可通过消元转化为二次函数求解.由于学生还未接触不等式内容，所以只能要求学生用二次函数的有关知识寻求最值.该题解答如下：设扇形半径为R，弧长为'l，由题设知.llR'2，.22,41.21)2(21''2RlRllRlRRRRlS即当扇形当该扇形的圆心角为2弧4度时，扇形面积最大，最大值为162l.2．本章中，运用数形结合的思想方法帮助解题是新教材的一大亮点.如P18例4.求证：sincos1cos1sin.本题采用了两种方法证明后，让学生按图思考.思考：右图中，隐藏了一个例4的“图形证明”，你能发现吗？该图，实际上是在单位圆中运用半圆上的圆周角为直角的定理，得到Rt△ABP，在Rt△ABP中运用射影定理；可得cos1sin是、cos1的比例中项，即：sincos1cos1sin.运用图形、数形结合得三角恒等式，是新教材的一个特色.3．本章中，积极引导学生运用换元、转化、化归等思想方法思考、探究解决问题，是新教材激发学生创新意识的一大举措.如：P20思考由公式二、三，你能导出公式四吗？根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另一组公式吗？这里公式二、三、四，指的是“”、“”与“”三组诱导公式.课本中的这一思考很有价值，它能激发学生的创新意识，而要实现这一思考，必须运用换元与转化、化归等思想方法.如果要用公式三、四公式二，应将角进行转化：)(，这样得到,sin)sin()](sin[)sin(….这里根据公式二、三、四中任意两组，推出另外一组，共有313c种推法，可让学充分活动、思索，动手试试.再如：P21探索，若角的终边与角的终边关于直线xy对称（如右图）.（1）角与角的正弦函数和余弦函数之间有何关系？（2）角2的终边与角的终边是否关于直线y=x对称？（3）由（1）、（2）你能发现什么结论？5该题各小题证明，总起来看，由角终边分别在I、II、III、IV四个象限（再决定终边所在象限）分类讨论，证明两Rt△全等，然后用三角函数定义可得结论.事实上，该题证明后，容易得到两角、终边关于直线y=x对称的充要条件是：)(22Zkk.利用这一充要条件的命题可方便得出（3）的结论：cot)2tan(,sin)2cos(,cos)2sin(.4．充分利用单位圆这一工具，数形结合解决该章的一些问题.该章例题、练习题、习题与复习题中的很多问题总是借助单位圆这一工具来解决.如：P24思考·运用18（2）已知tan),0(51cossin求的值.与P24探究·拓展第19、20等两题在解决过程中均与单位圆结下了不解之缘.以下只以P24思考·运用18（2）为例，进行简单解答，说明运用单位圆解题的必要性.P24思考·运用18（2）简解：将2524cossin251cossin平方2549)cos(sin2.由432,51cossin通过画出单位圆可知.再由057cossin432.联立方程组：.34tan53cos54sin57cossin51cossin注：以上在简解过程中，将)(2549)cos(sin2开方后进行“+”、“-”号的取舍是关键，要解决这一关键问题，现阶段只有依靠单位圆，画出（如上图）单位圆可6知：角终边不能落在第1象限，∵511cossin111OMPM.角的终边只能落在），（432(范围内，这时才有1cossin0,cossin,0cos,0sin且.从而得到（*）式开方后取“+”号.以上根据题设条件，利用单位圆，限制角的取值范围，从而决定计算过程中“+”、“-”值的取舍，这是解决三角问题通常采用的方法.5．新教材在本章中突出了三角函数图象与性质知识的应用.本章内容与原教材相比，新增了一节1.3.4三角函数的应用，这是新教材的一大亮点.该内容中，选取的三道例题以及练习题、习题1.3的第11题、14题、15题、实习作业与本章复习题的第15题等等，总是用三角函数来描述题中的周期函数.这就启发我们思考：为什么这些题均可用三角函数来描述？是不是所有的周期函数总可以用三角函数来描述？大家知道，回答这两个问题，不是一件容易的事.但学生到高中学习数学，不能光凭考察数据、描点绘图来决定选用哪种函数，也就是说不能只靠直观考察、合情推理来获得数学的结论，而应进行必要的逻辑推理.当然这里要讲选用三角函数解题的理由，条件尚未成熟，但可在题设中直接告诉学生选用何种函数，至于其中道理，可告诉学生，随着大家所学知识范围的扩大，将会弄清楚其中的道理.这样做要比直接搞合情推理好得多.6．用好章头语、章头题与章头图，将学生带进呈现周期变化的三角函数的世界.章头图呈现的是碧波万顷的大海，容易联想到潮起潮落，波峰波谷，日出日落，寒来暑往…这样就把学生的视线引向了现实世界广泛存在着的周期现象.接着教科书在此背景下展开了对周期现象的数学研究.首先，教科书把目光聚集在一个“最简单又最基本的”周期现象上，提出了本章的中心问题：怎样用数学模型刻画圆周上一点P的运动？为了解决这个问题，首先就要将点P表示出来.接着，章头语与章头题引言列举了表示点P的三种方法：（1）用角度表示；（2）用弧长表示；（3）用坐标来表示.进而提出了更深入的问题：（角）,l(弧长),x,y(坐标)之间存在着怎样的内在联系?容易看出，本章开卷语提出了一个研究的纲领.例如，为了用角度表示点P，就需7要引入任意角；为了用弧长表示点P，就需要引进弧度制；为了用坐标表示点P，就需要建立三角函数的概念……事实上，本章的内容正是根据这个纲领展开的.五、第3章教材分析1．本章学习内容是第一章学习内容的延续，也是以前两章内容作为根与支干开花结果之处.如：开始两角差的余弦公式的推导既涉及向量数量积的运算公式，又要运用余弦函数是周期函数和偶函数等知识.前两章是该章的基础，从章头图就可以看出：第一章是大海，这一章仍是大海，图中有两条撞击的浪花，这都表明了该章与前面所学知识有联系，密不可分，是前面所学知识延伸与发展.本章同时也是后读学习第五册第一章解三角形的基础.解三角形这一章中揭示了三角形中正弦、余弦两个定理，无疑又是本章知识的延续与发展.综上所述，本章的知识内容，在整个高一学年度起了承上起下的作用.2．本章内容的核心是运用一系列的公式进行计算.所涉及的公式较多，基本上有：和角公式、倍角公式、降次公式，还有些不要求记忆，但记了能方便运算的公式：和差化积公式、积化和差公式、万能公