高中数学1-6课时演练(含解析)新人教版必修4

-1-第一章1.61.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为：s＝6sin2πt＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析：∵ω＝2π，∴T＝2πω＝1.答案：D2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零答案：B3.如图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()A．h＝8cosπ6t＋10B．h＝－8cosπ3t＋10C．h＝－8sinπ6t＋10D．h＝－8cosπ6t＋10解析：排除法：由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A、C.答案：D4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．-2-解析：T＝2π160π＝180(分)．f＝1T＝80(次/分)．答案：805．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．解析：将解析式写为d＝Asin(ωx＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60.答案：10sinπt606．某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)＝3sin2π365t－＋12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，t∈N，t＝0表示1月1日，t＝1表示1月2日，依此类推．(1)该城市哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？解：(1)令2π365(t－79)＝π2，得t＝170.25，又t∈N，故当t＝170时，D(t)取得最大值．又t＝170对应的是6月20日(闰年除外)．所以该城市6月20日这一天白昼时间最长．令2π365(t－79)＝3π2，得t＝352.75.又t∈N，故当t＝353时，D(t)取得最小值．又t＝353对应的是12月20日(闰年除外)，所以该城市12月20日这一天白昼时间最短，(2)令D(t)10.5，即3sin2π365t－＋1210.5，∴sin2π365t－－12，∴－π62π365(t－79)7π6.∴48.6t291.9.又t∈N，∴49≤t≤291，t＝49,50,51，…，291，共243天．∴该城市一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时．-3-(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难由图象求解析式1、3、5、724、9由图象研究函数性质610数据拟合问题8一、选择题(每小题4分，共16分)1.图中为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始旋转，15s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5解析：∵T＝15，∴ω＝2πT＝2π15，显然ymax－ymin的值等于圆的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝ymax－ymin2＝62＝3.答案：A2.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asinωt＋π6(A0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝150时，电流强度是()A．－5安B．5安C．53安D．10安解析：由题图知A＝10，T＝2×4300－1300＝150，∴2πω＝150，∴ω＝100π，∴I＝10sin100πt＋π6，当t＝150时，I＝10sin100π×150＋π6＝5(安)．答案：B3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(秒)时离开平衡位置的距离s(厘米)满足函数关系式s＝2sint＋π4，有如下三种说法：①小球开始在平衡位置上方2cm处；②小球下降到最低点时离开平衡位置向下2cm处；③经过2π秒小球重复振动一次，其中正确的说法是()-4-A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：当t＝0时，s＝2sin0＋π4＝2，故①正确；smin＝－2，故②正确；T＝2π，故③正确．答案：D4.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()解析：令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sinθ2＝d2，∴d＝2sinθ2＝2sinl2，即d＝f(l)＝2sinl2(0≤l≤2π)，它的图象为C.答案：C二、填空题(每小题4分，共12分)5.如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．解析：设函数解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0)，则A＝2，由图象知T＝2×(0.8－0.3)＝12×2＝1，∴ω＝2πT＝2π.∴2π×0.3＋φ＝π，∴φ＝2π5.∴函数解析式为y＝2sin2πt＋2π5.答案：y＝2sin2πt＋2π56．振动量y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的初相和频率分别是－π和32，则它的相位是________．-5-解析：由题意知：φ＝－π，f＝32，则T＝1f＝23又T＝2πω，则ω＝2πT＝2π23＝3π.所以相位是3πx－π.答案：3πx－π7．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________________．解析：由条件可知A＋B＝9，－A＋B＝5，∴B＝7，A＝2.又T＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4，令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋7.答案：f(x)＝2sinπ4x－π4＋7三、解答题8．(10分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？解：(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10°C，所以最大温差为30°C－10°C＝20°C.(2)令10sinπ8x－5π4＋20＝15，可得sinπ8x－5π4＝－12，而x∈[4,16]，所以x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25，可得sinπ8x－5π4＝12，而x∈[4,16]，所以x＝343.故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．9．(12分)如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．-6-解：依题意，有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，∴ω＝π6.∴y＝23sinπ6x，x∈[0,4]．∴当x＝4时，y＝23sin2π3＝3.∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)．即M、P两点间的距离为5km.10．(10分)下图是某简谐运动的图象．(1)求出这个简谐运动的函数解析式；(2)写出这个简谐运动的振幅、周期、频率和初相；(3)说明它可由正弦曲线经过怎样的变换得到．解：(1)设这个简谐运动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)．由图可知，A＝3，周期T＝143－23＝4，从而ω＝2πT＝π2.∴y＝3sinπ2x＋φ.∵图象经过点23，3，∴sinπ3＋φ＝1，取φ＝π6，得这个简谐运动的函数表示式是y＝3sinπ2x＋π6，x-7-∈[0，＋∞)．(2)这个简谐运动的振幅是3cm，周期是4s，频率是14Hz，初相是π6.(3)先将正弦曲线在区间π6，＋∞上的部分图象向左平移π6个单位长度，得到函数y1＝sinx＋π6，x∈[0，＋∞)的图象；再把图象上各点的横坐标缩短到原来的2π倍(纵坐标不变)，得到函数y2＝sinπ2x＋π6，x∈[0，＋∞)的图象；然后把函数y2的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到函数y＝3sinπ2x＋π6，x∈[0，＋∞)的图象．