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金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com§1函数的单调性与极值第一课时导数与函数的单调性(一)一、教学目标:1、知识与技能:⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函数的单调区间。2、过程与方法:⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。二、教学重点:函数单调性的判定教学难点:函数单调区间的求法三、教学方法:探究归纳,讲练结合四、教学过程(一).创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用.(二).新课探究1.问题:图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像,图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图像,我们可以发现:(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即()ht是增函数.相应地,'()()0vtht.(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即()ht是减函数.相应地,'()()0vtht.2.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com如图3.3-3,导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率.在0xx处,'0()0fx,切线是“左下右上”式的,这时,函数()fx在0x附近单调递增;在1xx处,'0()0fx,切线是“左上右下”式的,这时,函数()fx在1x附近单调递减.结论:函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内,如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递增;如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内单调递减.说明:(1)特别的,如果'()0fx,那么函数()yfx在这个区间内是常函数.3.求解函数()yfx单调区间的步骤:(1)确定函数()yfx的定义域;(2)求导数''()yfx;(3)解不等式'()0fx,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式'()0fx,解集在定义域内的部分为减区间.(三).典例探析金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com例1、已知导函数'()fx的下列信息:当14x时,'()0fx;当4x,或1x时,'()0fx;当4x,或1x时,'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状.解:当14x时,'()0fx,可知()yfx在此区间内单调递增;当4x,或1x时,'()0fx;可知()yfx在此区间内单调递减;当4x,或1x时,'()0fx,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.综上,函数()yfx图像的大致形状如图3.3-4所示.例2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间.(1)3()3fxxx;(2)2()23fxxx(3)()sin(0,)fxxxx;(4)32()23241fxxxx解:(1)因为3()3fxxx,所以,'22()333(1)0fxxx因此,3()3fxxx在R上单调递增,如图3.3-5(1)所示.(2)因为2()23fxxx,所以,'()2221fxxx当'()0fx,即1x时,函数2()23fxxx单调递增;当'()0fx,即1x时,函数2()23fxxx单调递减;函数2()23fxxx的图像如图3.3-5(2)所示.(3)因为()sin(0,)fxxxx,所以,'()cos10fxx金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com因此,函数()sinfxxx在(0,)单调递减,如图3.3-5(3)所示.(4)因为32()23241fxxxx,所以.当'()0fx,即时,函数2()23fxxx;当'()0fx,即时,函数2()23fxxx;函数32()23241fxxxx的图像如图3.3-5(4)所示.注:(3)、(4)生练例3.如图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解:1,2,3,4BADC思考:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢.结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7所示,函数()yfx在0,b或,0a内的图像“陡峭”,在,b或,a内的图像“平缓”.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com例4、求证:函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数.证明:因为'22661262612yxxxxxx当2,1x即21x时,'0y,所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数.说明:证明可导函数fx在,ab内的单调性步骤:(1)求导函数'fx;(2)判断'fx在,ab内的符号;(3)做出结论:'0fx为增函数,'0fx为减函数.(四).课堂练习:课本P59页练习1(1);2(五).回顾总结:(1)函数的单调性与导数的关系;(2)求解函数()yfx单调区间;(3)证明可导函数fx在,ab内的单调性(六).布置作业:课本P62页习题3-1A组1、2五、教后反思:
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