高中数学2-1-2第2章第2课时数列的递推公式同步检测新人教B版必修5

1第2章2.1第2课时数列的递推公式(选学)一、选择题1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2(n≥3)，则a5＝()A.5512B.133C．4D．5[答案]A[解析]令n＝3,4,5，求a5即可．2．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝()A．－3B．－4C．－5D．2[答案]A[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.3．正项数列{an}中，an＋1＝an1＋3an，a1＝2，则a4＝()A.165B.219C.85D.87[答案]B[解析]由递推关系可得a2＝27，a3＝213，a4＝219.4．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝()A．xB．yC．y－xD．－x[答案]C[解析]根据递推关系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2007＝a334×6＋3＝a3.5．已知Sk表示数列的前k项和，且Sk＋Sk＋1＝ak＋1(k∈N*)，那么此数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列[答案]C[解析]∵由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝Sk＋Sk＋1∴Sk＝0(k∈N*)可知此数列每一项均为0，即an＝0是常数列．6．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是()2A．40个B．45个C．50个D．55个[答案]B[解析]交点个数依次组成数列为1,3,6，即2×12，2×32，3×42，由此猜想an＝nn－2，∴a10＝10×92＝45.二、填空题7．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝an＋1an构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________．[答案]52，85，118，1411，1714[解析]∵an＝3n－1(n∈N*)∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝an＋1an＝3n＋23n－1.∴b1＝52，b2＝85，b3＝118，b4＝1411，b5＝1714.8．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则(1)这个数列的第四项是________；(2)65是这个数列的第________项；(3)这个数列从第________项起以后各项都为正数．[答案]－12；11；7[解析](1)a4＝42－4×4－12＝－12.(2)令65＝n2－4n－12，∴n2－4n－77＝0，∴n＝11或n＝－7(舍去)．故65是这个数列的第11项．(3)令n2－4n－120，得n6或n2.∴这个数列从第7项起以后各项都为正数．3三、解答题9．在数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝an＋ann＋1，求通项公式．[解析]由an＋1＝an＋ann＋1，得an＋1＝n＋2n＋1an，即an＋1an＝n＋2n＋1.∴a2a1＝32，a3a2＝43，a4a3＝54，…，anan－1＝n＋1n(n≥2)．将以上各式相乘，得a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝32·43·54·…·n＋1n∴ana1＝n＋12，∴an＝n＋12(n≥2)，又a1＝1满足上式．∴an＝n＋12(n∈N*)．10．设数列{an}的前n项的和为Sn，且方程x2－anx－an＝0，有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…，求a1、a2.[解析]当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，有一根为S2－1＝a2－12，于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a2＝16.能力提升一、选择题1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn[答案]A[解析]解法一：取n＝2，则a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；取n＝3，则a3＝a2＋ln(1＋12)＝2＋ln2＋ln32＝2＋ln3，排除B，选A.解法二：直接将选项依次代入验证．当an＝2＋lnn时，an＋1＝an＋ln(1＋1n)4＝2＋lnn＋ln(1＋1n)＝2＋ln(n＋1)满足，故选A.解法三：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴a2－a1＝ln(1＋11)＝ln2，a3－a2＝ln(1＋12)＝ln32，a4－a3＝ln(1＋13)＝ln43，…an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝lnnn－1.相加得：an－a1＝ln2＋ln32＋…＋lnnn－1＝lnn，∵a1＝2，∴an＝2＋lnn.2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N＋)，则a20＝()A．0B．－3C.3D.32[答案]B[解析]∵a1＝0，a2＝a1－33a1＋1＝－3，a3＝a2－33a2＋1＝3，a4＝a3－33a3＋1＝0，…至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－3，3，0，－3，3，0，…，周而复始．∵20÷3＝6余2，∴a20＝a2＝－3.二、填空题3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.[答案]12n＋1－12n＋2[解析]f(n＋1)＝1n＋2＋1n＋3＋1n＋4＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．若数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝a2n(n是正整数)，则数列的通项an＝________.[答案]an＝32n－1[解析]a1＝3，a2＝32，a3＝34，a4＝38…，猜想an＝32n－1.5三、解答题5．数列{an}的通项公式是an＝－2n2＋19n－23，则数列{an}中最大的一项是第几项？并求出该项．[解析]an＝－2n2＋19n－23＝－2(n－194)2－23＋1928＝－2(n－194)2＋1778，∵n∈N*，∴当n＝5时，an最大，a5＝－2×52＋19×5－23＝22.故数列{an}最大的一项是第5项，且a5＝22.6．设函数f(x)＝log2x－logx4(0x1)，数列{an}的通项an满足f(2an)＝2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解析]∵f(x)＝log2x－logx4，∴f(2an)＝log22an－log2an4＝2n，即an－2an＝2n，∴a2n－2nan－2＝0，∴an＝n±n2＋2.又∵0x1，∴02an1，∴an0(n∈N*)，∴an＝n－n2＋2(n∈N*)．7．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．[解析]将A、B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：站号12345678剩余邮件数7121516151270该数列的图象如图所示．6它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．8．某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12.(1)假设成活率为100%，经过四年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？(2)如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木量开始下降？[解析](1)设林区原有的树木量为a，调整计划后，第n年的树木量为an(n＝1,2,3，…)，则a1＝a(1＋200%)＝3a，a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋12)＝32a2＝9aa4＝a3(1＋14)＝54a3＝454a.所以经过四年后，林区树木量是原来树木量的454倍；(2)若每年损失树木量的5%，则第n年后的树木量与第(n－1)年的树木量之间的关系为：an＝an－1(1＋12n－2)(1－5%)＝1920(1＋12n－2)an－1(n≥2)．设第n年后树木量开始减少，则an≥an－1an≥an＋1，即1920＋12n－2an－1≥an－11920＋12n－1an≤an，7∴12n－2≥11912n－1≤119，∴176≤12n≤138，解得n＝6.