高中数学2-12-3映射同步练习北师大版必修1

12-1、2-3映射基础巩固一、选择题1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A．A＝B＝N＋，对应法则f：x→y＝|x－2|B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则f：x→y＝1x0xC．A＝B＝R，对应法则f：x→y＝±xD．A＝Z，B＝Q，对应法则f：x→y＝1x[答案]B[解析]A中元素2无象，排除A；C中一个x对应两个y，与映射定义不符，排除C；D中元素0无像，排除D，故只有B正确．2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面的命题为真命题的是()A．A中的每一个元素在B中必有像B．B中的每一个元素在A中必有原像C．B中的每一个元素在A中的原像唯一D．A中的不同元素的像必定不同[答案]A[解析]由映射的定义可知，集合A中的每一个元素在B中必有像，故选A.3．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，则像(1,2)在f下的原像为()A．(52，32)B．(－32，12)C．(－32，－12)D．(32，－12)[答案]D[解析]根据题意得x＋y＝1x－y＝2，∴x＝32y＝－12.4．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示从集合A到集合B的映射的是()2[答案]D[解析]对于A，当x＝0，y＝0∉{y|1≤y≤2}，不是从A到B的映射；对于B，当x＝2时y＝0∉{y|1≤y≤2}，也不是从A到B的映射；对于C，当x＝0时，y＝1且y＝2，即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A到B的映射；对于D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．5．(2012·广州高一检测)下列说法正确的有()①函数是从定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋1－x是函数；③函数y＝2x(x∈Z)的图像是一条直线．A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]①根据定义可知此命题是正确的；②要使f(x)有意义，必须满足x－2≥0，1－x≥0，即x≥2，x≤1，故x∈∅，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的；③因为函数y＝2x的定义域是Z，故y＝2x(x∈Z)的图像是一些孤立的点，所以此命题是错误的．故应选B.6．下列各组中，集合P与M不能建立映射的是()A．P＝{0}，M＝∅B．P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8}C．P＝{有理数}，M＝{数轴上的点}3D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}[答案]A[解析]选项A中，M＝∅，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射．二、填空题7．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由A到B的一一映射的个数为________．[答案]2[解析]由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a，b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于________．[答案]1[解析]因为f：x→x，∴M＝N，∴ba＝0，a＝1，故a＋b＝1.三、解答题9．已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．(1)求A中元素(5,5)的像；(2)求B中元素(5,5)的原像；(3)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵x＝5，y＝5，∴(x＋2y＋2,4x＋y)＝(17,25)．∴A中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)设元素(5,5)的原像是(m，n)，得m＋2n＋2＝5，4m＋n＝5，∴m＝1，n＝1，4∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A中存在这样的元素(a，b)，则由题意得a＋2b＋2＝a，4a＋b＝b，∴a＝0，b＝－1，∴A中存在元素(a，b)使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).能力提升一、选择题1．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从A到B的映射的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝13xC．f：x→y＝32xD．f：x→y＝x[答案]C[解析]对于A，当0≤x≤4时，0≤12x≤2，f：x→y＝12x能构成A到B的映射；对于B,0≤13x≤43，也能构成集合A到集合B的映射；对于C,0≤32x≤6，而[0,6]⃘[0,2]，所以不能构成从A到B的映射；对于选项D,0≤x≤2，能构成从A到B的映射．2．(2012·东营高一检测)已知集合M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若f是M→N的映射，且f(a)＝0，则这样的映射共有()A．4个B．6个C．9个D．27个[分析]通过本题考查映射的概念．同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于课本，高于课本”的好题．[答案]C[解析]∵f(a)＝0.本题就转化为M＝{b，c}到N＝{－1,0,1}的映射个数问题．当f(b)＝－1时f(c)可以等于－1,0,1三种情况．同理当f(b)＝0或1时，f(c)也各有三种情况．∴共构成9个映射，故选C.二、填空题3．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是________(填正确序号)．(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝13x；(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝1x；(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．5[答案](2)[解析](1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1，2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下A→B的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素个数是________．[答案]4[解析]∵|－3|＝3，|－2|＝2，|－1|＝1，∴－3,3→3，－2,2→2，－1,1→1,4→4，B中元素有4个．三、解答题5．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，f：三角形的内切圆；(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝1x.[解析](1)当x∈N时，则|x－3|∈N，即A中的元素在B中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，它是A到B的映射．(4)取x＝0，y＝10没有意义，即A中元素0在B中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．6．从集合A到B的映射是f：x―→y＝x2x＋1，从集合B到C的映射是f：y―→z＝y2－4y，则A中元素1在C中的像是什么？C中的元素0对应A中的原像是什么？[解析]A中元素1在B中对应的元素为12×1＋1＝13，B中元素13在C中对应的元素是(13)26－4×13＝－119，故A中元素1在C中的像是－119.C中的元素0在B中的原像是0或4.B中的元素0在A中的原像是0；B中的元素4在A中的原像是－47，所以C中的元素0在A中的原像是0或－47.7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中元素满足什么条件时在A中存在原像？[解析](1)由题意知－xy＝3，x－y＝－4，解得x＝－1，y＝3，或x＝－3，y＝1.所以B中元素(3，－4)在A中的原像为(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足－xy＝a①x－y＝b②，由②得y＝x－b代入①式并化简，得x2－bx＋a＝0③当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实根，所以，只有当B中元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．