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-1-2.1.3余弦定理(一)知识梳理余弦定理:(1)形式一:Acosbc2cba222,Bcosac2cab222,Ccosab2bac222形式二:bc2acbAcos222,ac2bcaBcos222,ab2cbaCcos222,(角到边的转换)(2)解决以下两类问题:1)、已知三边,求三个角;(唯一解)2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)题型一根据三角形的三边关系求角例1.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=(3+1)∶(3-1)∶10,求最大角.解:∵asinA=bsinB=csinC=k∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=(3+1)∶(3-1)∶10设a=(3+1)k,b=(3-1)k,c=10k(k>0)则最大角为C.cosC=a2+b2-c22ab=(3+1)2+(3-1)2-1022×(3+1)(3-1)=-12∴C=120°.评析:在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,应熟练掌握.在三角形中,大边对大角,所以角C最大。题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程02322xx的两根,1cos2BA。(1)求角C的度数;(2)求AB的长;(3)求△ABC的面积。解:(1)coscos[]CABcosAB011202C(2)因为a,b是方程02322xx的两根,所以232abba22202cos120ABbaab21010ababAB(3)23sin21CabSABC-2-评析:在余弦定理的应用中,注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出,要充分利用两根之和与两根之差的特点。备选题正、余弦定理的综合应用例3.在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知222acb,且sincos3cossin,ACAC求b解法一:在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得:2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍).解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b。所以2cos2bcA…………………………………①又sincos3cossinACAC,sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC,即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc,故4cosbcA………………………②由①,②解得4b。评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,证明:CBAcbasinsin222。证明:由余弦定理知:Abccbacos2222,Baccabcos2222则22ab222cos2cosbabcAacB,-3-整理得:cAbBacbacoscos222,又由正弦定理得:CAcasinsin,CBcbsinsin,222sincoscossinsinabABABcCsinsinABC评析:三角形中的证明,应充分利用正、余弦定理,三角函数的公式,在边、角关系中,明确证明思路,都化为边的关系或都化为角的关系。.点击双基1.在△ABC中,若a=2,b=22,c=6+2,则∠A的度数是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°解:bc2acbAcos222=23,A=30°答案:A2.在△ABC中,若,3))((bcacbcba则A()A.090B.060C.0135D.0150解:22()()3,()3,abcbcabcbcabc222222013,cos,6022bcabcabcAAbc答案:B3.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解:由2cosBsinA=sinC得acbca222×a=c,∴a=b.答案:C4.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,则C_____________。解:a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,令7,8,13akbkck22201cos,12022abcCCab答案:01205.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知3,3,30,abc则A-4-=.解:由余弦定理可得239233cos303c,∴330caAC答案:30课后作业1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.090B.0120C.0135D.0150解:设中间角为,则22200005871cos,60,180601202582为所求答案:B2.以4、5、6为边长的三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解:长为6的边所对角最大,设它为,则答案:A3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()A.185B.43C.23D.87解:设顶角为C,因为5,2lcabc∴,由余弦定理得:222222447cos22228abccccCabcc答案:D4.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若acBbca3tan)(222,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23解:由acBbca3tan)(222得222(+cb)3cos=22sinaBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又B为△ABC的内角,所以B为3或23答案:D5.在△ABC中,若1413cos,8,7Cba,则最大角的余弦是()-5-A.51B.61C.71D.81解:2222cos9,3cababCc,B为最大角,1cos7B答案:C6.在中,,则三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解:由余弦定理可将原等式化为答案:C7.ABC△的内角ABC,,的对边分别为abc,,,若26120cbB,,,则a等于()A.6B.2C.3D.2解:由余弦定理得,Baccabcos2222,6=a2+2+2aa=2或-22(舍去)答案:D8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程的根,则三角形的另一边长为()A.52B.C.16D.4解:由题意得或2(舍去)答案:B二.填空题9.△ABC中,若222bbcca,则A=解:bc2acbAcos222=21A=3答案:310.在△ABC中,若,12,10,9cba则△ABC的形状是_________。解:C为最大角,cos0,CC为锐角答案:锐角三角形11.在锐角△ABC中,若2,3ab,则边长c的取值范围是_________。解:222222222222213,49,513,51394abccacbccccbac答案:(5,13)-6-三.解答题12.在△ABC中:(1)已知b=8,c=3,A=60°,求a;(2)已知a=20,b=29,c=21,求B;(3)已知a=33,c=2,B=150°,求b;(4)已知a=2,b=2,c=3+1,求A.解:(1)由a2=b2+c2-2bccosA得a2=82+32-2×8×3cos60°=49,∴a=7.(2)由cosB=c2+a2-b22ca得cosB=202+212-2922×20×21=0,∴B=90°.(3)由b2=a2+c2-2accosB得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49,∴b=7.(4)由cosA=b2+c2-a22bc得cosA=(2)2+(3+1)2-2222(3+1)=22,∴A=45°.0000180()180(56203253)CAB09047.13在△ABC中,0120,,21,3ABCAcbaS,求cb,。解:1sin3,4,2ABCSbcAbc2222cos,5abcbcAbc,而cb所以4,1cb14半径为R的圆外接于△ABC,且2R(sin2A-sin2C)=(3a-b)sinB.求角C;解:(1)∵RCcBbAa2sinsinsinRbBRcCRaA2sin,)2(sin,)2(sin2222∵2R(sin2A-sin2C)=(3a-b)sinB∴2R[(Ra2)2-(Rc2)2]=(3a-b)·Rb2∴a2-c2=3ab-b2∴232222abcba∴cosC=23,∴C=30°
本文标题:高中数学2.1.3余弦定理(一)教案北师大版必修5
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