高中数学2.1.3余弦定理(一)教案北师大版必修5

-1-2.1.3余弦定理（一）知识梳理余弦定理：(1)形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）题型一根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角.解：∵asinA＝bsinB＝csinC＝k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(3+1)∶(3－1)∶10设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k(k＞0)则最大角为C.cosC＝a2＋b2－c22ab＝(3＋1)2＋(3－1)2－1022×(3＋1)(3－1)＝－12∴C＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程02322xx的两根，1cos2BA。（1）求角C的度数；（2）求AB的长；（3）求△ABC的面积。解：(1)coscos[]CABcosAB011202C（2）因为a，b是方程02322xx的两根，所以232abba22202cos120ABbaab21010ababAB（3）23sin21CabSABC-2-评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。备选题正、余弦定理的综合应用例3.在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b。所以2cos2bcA…………………………………①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA………………………②由①，②解得4b。评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，证明：CBAcbasinsin222。证明：由余弦定理知：Abccbacos2222，Baccabcos2222则22ab222cos2cosbabcAacB，-3-整理得:cAbBacbacoscos222，又由正弦定理得:CAcasinsin，CBcbsinsin，222sincoscossinsinabABABcCsinsinABC评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。.点击双基1．在△ABC中，若a=2,b=22,c=6+2,则∠A的度数是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°解：bc2acbAcos222=23，A=30°答案：A2．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A()A．090B．060C．0135D．0150解：22()()3,()3,abcbcabcbcabc222222013,cos,6022bcabcabcAAbc答案：B3.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由2cosBsinA=sinC得acbca222×a=c，∴a=b.答案：C4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。解：a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，令7,8,13akbkck22201cos,12022abcCCab答案：01205.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abc则A-4-＝.解：由余弦定理可得239233cos303c，∴330caAC答案：30课后作业1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090B．0120C．0135D．0150解：设中间角为，则22200005871cos,60,180601202582为所求答案：B2.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解：长为6的边所对角最大，设它为，则答案：A3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.185B.43C.23D.87解：设顶角为C，因为5,2lcabc∴，由余弦定理得：222222447cos22228abccccCabcc答案：D4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acBbca3tan)(222，则角B的值为（）A.6B.3C.6或56D.3或23解：由acBbca3tan)(222得222(+cb)3cos=22sinaBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又B为△ABC的内角，所以B为3或23答案：D5．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（）-5-A．51B．61C．71D．81解：2222cos9,3cababCc，B为最大角，1cos7B答案：C6.在中，，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为答案：C7.ABC△的内角ABC，，的对边分别为abc，，，若26120cbB，，，则a等于（）A．6B．2C．3D．2解：由余弦定理得，Baccabcos2222，6=a2+2+2aa=2或-22（舍去）答案：D8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.C.16D.4解：由题意得或2（舍去）答案：B二．填空题9.△ABC中，若222bbcca，则A=解：bc2acbAcos222=21A=3答案：310．在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是_________。解：C为最大角，cos0,CC为锐角答案：锐角三角形11．在锐角△ABC中，若2,3ab，则边长c的取值范围是_________。解：222222222222213,49,513,51394abccacbccccbac答案：(5,13)-6-三．解答题12.在△ABC中：(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；(3)已知a＝33，c＝2，B＝150°，求b；(4)已知a＝2，b＝2，c＝3＋1，求A.解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.(2)由cosB＝c2＋a2－b22ca得cosB＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B＝90°.(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝(33)2＋22－2×33×2cos150°＝49，∴b＝7.(4)由cosA＝b2＋c2－a22bc得cosA＝（2）2＋（3＋1）2－2222（3＋1）＝22，∴A＝45°.0000180()180(56203253)CAB09047.13在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,。解：1sin3,4,2ABCSbcAbc2222cos,5abcbcAbc，而cb所以4,1cb14半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sinB．求角C；解：(1)∵RCcBbAa2sinsinsinRbBRcCRaA2sin,)2(sin,)2(sin2222∵2R(sin2A-sin2C)＝(3a－b)sinB∴2R［(Ra2)2-(Rc2)2］＝(3a-b)·Rb2∴a2-c2＝3ab-b2∴232222abcba∴cosC＝23，∴C＝30°