高中数列教案第九课时等比数列的前n项和(一)

第九课时等比数列的前n项和(一)教学目标：会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养.教学重点：1.等比数列的前n项和公式.2.等比数列的前n项和公式的推导.教学难点：灵活应用公式解决有关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质.(1)定义式：anan－1＝q(n≥2，q≠0)(2)通项公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)(3)性质：①a，G，b成等比数列G2＝ab②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aqⅡ.讲授新课前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求?下面我们先来看引言.引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1＝1，q＝2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.1.前n项和公式一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.刚才问题即为求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263①我们发现，若在①式两边同乘以2，则得2S64＝2＋4＋…＋263＋264②由②－①可得：S64＝264－1同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an又∵在等比数列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1,qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn不妨将上两式相减可得(1－q)Sn＝a1－a1qn（1）当q＝1，Sn＝na1（2）当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q①或Sn＝a1－anq1－q②若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②.2.例题讲解［例1］求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.从第5项到第10项共有6项，它们的和为：16（1－26）1－2＝1008.答案：从第5项到第10项的和为1008.解法二：从第5项到第10项的和为：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4由a1＝1，q＝2得Sn＝a1（1－qn）1－q＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.答：从第5项到第10项的和为1008.［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比数列.一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24＝1－2241－2＝224－1答：一天时间可传遍224－1人.评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.Ⅲ.课堂练习课本P54练习1，2，3，4Ⅳ.课时小结等比数列求和公式：Sn＝a1（1－qn）1－q或Sn＝a1－anq1－q(q≠1)及推导方法：错位相减法.是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用.Ⅴ.课后作业课本P58习题1，2，7等比数列的前n项和(一)1．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是（）A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列2．等比数列{an}中，若S6＝91，S2＝7，则S4为（）A.28B.32C.35D.493．数列{an}的通项公式为an＝1n＋n＋1，若Sn＝9，则n等于（）A.9B.10C.99D.1004．使数列10111，10112，10113，…，1011n，…，前n项之积大于105，则自然数n值为（）A.6B.9C.11D.125．已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是（）A.x2＋10x＋8＝0B.x2－10x＋64＝0C.x2＋20x＋64＝0D.x2－20x＋64＝06．在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝.7．在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝.8．在等比数列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝9，则a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝.9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝.10．数列112，214，318，…的前n项和为.11．已知等比数列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n项为an，求a3n.12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列；（2）设cn＝an2n(n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.等比数列的前n项和(一)答案1．C2．A3．C4．C5．D6．707．438．279．131610．12（n2＋n＋2）－12n11．a3n＝23n－112．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1（1）设bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求证{bn}是等比数列；（2）设cn＝an2n(n＝1，2，…)，求证{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.解：（1）∵Sn+1＝4an＋2①∴Sn+2＝4an+1＋2②②－①得：Sn+2－Sn+1＝4an+1－4an(n＝1，2，…)，即an+2＝4an+1－4anan+2－2an+1＝2(an+1－2an)∵bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)∴bn+1＝2bn由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1(2)∵cn＝an2n(n＝1，2，…)，∴cn+1－cn＝an＋12n＋1－an2n＝an＋1－2an2n＋1＝bn2n＋1将bn＝3·2n－1代入，得cn+1－cn＝34(n＝1，2，…)由此可知：数列{cn}是公差为34的等差数列，c1＝a12＝12故cn＝12＋34（n－1）＝34n－14(3)∵cn＝34n－14＝14（3n－1）∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1，2，…)当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.由于S1＝a1＝1也适合于此式,∴前n项公式为：Sn＝(3n－4)·2n－1＋2