高中数学8《最小二乘估计》教案北师大版必修3

-1-最小二乘估计教学目标：1、掌握最小二乘法的思想2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点：最小二乘法的思想教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）方法一、点到直线的距离公式12baybxdii方法二、2iibxay显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：2222211nnbxaybxaybxay使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法问题4、怎样使2222211nnbxaybxaybxay达到最小值？先来讨论3个样本点的情况设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：233222211bxaybxaybxay…………………①y0iiy,xiibxa,xbxayx-2-整理成为关于a的一元二次函数)a(f，如下所示：233222211332211223bxybxybxybxybxybxyaa)a(f233222211223bxybxybxyxbyaa利用配方法可得2233222211233xbybxybxybxyxbya)a(f从而当xbya时，使得函数)a(f达到最小值。将xbya代入①式，整理成为关于b的一元二次函数bg，2232221bxxxxxx)b(gyyxxyyxxyyxxb33212112232221yyyyyy同样使用配方法可以得到，当232221332211xxxxxxyyxxyyxxyyxxb223222133221133xxxxxyyxyxyx时，使得函数bg达到最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：2222212211xnxxxxynyxyxyxbnnnniiniiixnxxynyx1221xbya其中nyyyy,nxxxxnn2121由xbya我们知道线性回归直线y=a+bx一定过y,x。-3-例题与练习例1在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（xi）／oC261813104-1杯数（yi）／杯202434385064（１）试用最小二乘法求出线性回归方程。（２）如果某天的气温是－3oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。解：（1）先画出其散点图ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006－1641－64合计7023012861910可以求得557576481.a,.b则线性回归方程为y=57.557－1.648x（2）当某天的气温是－3oC时，卖出热茶的杯数估计为：63501623648155757...练习1已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点(D)70605040302010-10-60-40-2020406080气温杯数-4-（A）（2，2）（B）（1.5，0）（C）（1，2）（D）（1.5，4）练习2某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额（x）/千万元35679利润额（y）/百万元23345（１）画出销售额和利润额的散点图；（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解：（1）（2）数据如下表：ixiyixi2xiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得b=0.5，a=0.4线性回归方程为：x..y5040小结1、最小二乘法的思想2、线性回归方程的系数：x0123y1357xy0161412108642-2-4-6-8-10-12-14-16-30-25-20-15-10-551015202530-5-2222212211xnxxxxynyxyxyxbnnnniiniiixnxxynyx1221xbya作业：P60习题1－8第1题