高中数学_柯西不等式另两种形式的应用

柯西不等式另两种形式的应用广东省中山一中高中部许少华柯西不等式是非常重要的不等式，它的应用很广泛、且应用过程也相当灵活，真正可以体现“数学是思维的体操”，本文介绍柯西不等式另两种形式的应用，供参考：1.柯西不等式的向量形式设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数，使时，等号成立；这是柯西不等式的向量形式，下面谈谈这一形式在解题中的应用。例1已知，若恒成立，求的最大值。解析：设，由得：，即。例2设，求的最小值。解析：设。由得：，即，故的最小值为。例3求函数的最大值及最小值。解析：由原函数式得，设，由得，故最大值及最小值分别为与。点评：对于上述三道例题都是通过构造向量，利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰当、合理的构造向量是求解的关键，有一定的灵活性，当然也有一定的难度，突破它要靠平时多留心、多积累。2.柯西不等式的三角形式设都是实数，则。此为柯西不等式的三角形式，可以借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。例4求函数的最小值。解析：由，得，。点评：在应用三角形式求最小值时，我们要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最大。比如本题若变成虽产生结论，但“2”并不是最小值。例5求函数的最大值；解析：由三角形式稍作变化，即得，由于。点评：在应用三角形式求最大值时，我们也要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最小。比如本题若变成虽产生结论，但并不最大值。至此，我们看出了柯西不等式另两种形式的应用，也许对你以后的解题会有所启发，使你的解题思路就得格外活跃。