高中数学_椭圆的参数方程的几点应用

椭圆的参数方程的几点应用贵州省习水县第一中学袁嗣林椭圆的参数方程是（α是参数，）。特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r0）。下面就应用做一些归纳。1.参数方程在求最值上的应用例1求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。，当且仅当时，，，此时α存在。点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。例2设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程（1），然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），则。当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用例3椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。则。而OP⊥AP，于是，整理得解得（舍去），或。因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。