高中数学“概率”教学研究(教师培训版)

高中数学“概率”教学研究一、整体把握高中“概率”教学内容随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础．因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识．高中数学“概率”位于必修三和选修2-3（理科限选）．主要知识如下：（一）概率知识结构图课标要求：必修三：（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式．（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义．（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．选修2-3（1）在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．（2）通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．（3）在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．（4）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．（5）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（二）重点难点分析必修三概率部分：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义．高中“概率”，是在义务教育阶段的基础上，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，并学习用随机模拟的方法估计简单随机事件发生的概率．选修2-3（理科限选）部分：主要内容是离散型随机变量的分布列．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．结合课标要求，可得如下教学的重点和难点：重点：从思想方法的角度：重点是对随机现象的理解，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，从而正确理解概率的意义；从知识技能的角度：一是概率的统计定义；二是古典概型以及概率的加法公式；三是离散型随机变量的分布列，以及随机变量的数字特征——期望、方差．具体地说：二项分布（期望、方差）和超几何分布（期望）难点：正确理解概率的意义；几何概型；条件概率；二、高中“概率”教与学的策略（一）“概率的定义”的教学策略学生在义务教育阶段已经学习过概率，（1）知道随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述．（2）能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件发生的概率．（3）知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率．那么，学生在高中学习概率定义，与义务教育阶段的学习有何区别？重点应该强调的是什么？主要有两点：（1）加强对随机现象的认识，（2）将“通过大量地重复试验，用频率来估计概率”这种直观地感性认识逐步提升到理论的层面，学习“概率的统计定义”．如何做到这些呢？老师首先需要提升认识：历史上，概率源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．古典定义适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．这就使得古典定义的方法能应用的范围很窄，同时还有一些数学上的问题（贝特朗悖论）．1919年，德国数学家冯.米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数n的增加，某个事件出现的频率m/n总是在一个固定数值p的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值p定义为这一事件的概率．虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但是从数学理论上讲，统计定义仍然是有问题的．有循环定义之嫌．因为定义中出现了‘可能性’．这指的就是概率．（类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’）．你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免．事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数律（老师们在大学都学过）：它说的是：当试验次数时，一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数的可能性趋于零．之所以不能用这个式子中的常数p作为‘概率’的定义，是因为在这个式子中已经有了‘概率’．也就是说：概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆．在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的．即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义．概率的古典定义、统计定义有其时代背景和现实意义，不能因噎废食．这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质．那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？“理解其实质”是指什么呢？我想主要应该理解以下几点：1．“重复试验”．“重复试验”是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型．至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题．2．频率和概率的关系．频率反映了事件发生频繁的程度，从而可以用来度量事件发生的可能性大小．但频率是随机的，是这n次试验中的频率．换另外n次试验，一般说，频率将不同，而概率是一个客观存在的常数．因此，人们用概率来度量事件发生的可能性．不过，在现实中，概率往往是不知道的，通常用频率来估计概率．恰如在现实中，一根木棒的长度是一个客观的常数，但其值是未知的，我们是用测量值来估计其长度，不论仪器多么精确，测得的数值都会有误差（即测量值是随机的），但总是稳定在木棒的真实长度值的附近．3．概率反映的是多次试验中频率的稳定性．有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面．掷一个均匀骰子，每掷六次，各点都应该出现一次．否则就是不均匀．事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来．对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的．4．随着试验次数的增加，频率趋于概率？请正确理解与的区别．正确的应该是：即使n非常大，出现频率偏离概率较大的情形也是可能的，这是随机现象的特性．在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的．例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验来模拟．但必须注意到频率偏离概率大的情形．例如,扔一百个均匀硬币，一面出现30个，另一面出现70个，是不奇怪的．对此教师应有充分的认识．5．结果的随机性不同于结果未知．比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这个命题没有任何随机性．6．用频率估计概率，一定要大量试验？实验次数多少合适？狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：．（*）其中，为标准正态分布的分布函数．例如掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据（*）式，可以估计出．有人认为概率的统计定义没什么可讲的，学生有生活经验，很容易理解．从某一方面看，确实如此．学生不难理解掷均匀硬币时，出现正面的可能性是二分之一；掷均匀骰子时，出现各个点数的可能性都是六分之一，等等．（不过，从历史上看，人们认识到这一点是经过了很长的一个时期的．教科书上记载的那些历史上掷硬币的试验说明了这一点．之所以会做这么多的试验，就是因为人们在过去认识不到这种频率的稳定性．）根据以上分析，我们可以确定这一节课的教学策略：1）首先通过大量实例，体会随机事件发生的不确定性，归纳出随机事件的概念．2）然后再深入情境，体会随机事件的规律性．通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性，认识概率的意义．很自然地提出问题：如何把握规律？3）从已有的生活经验中提取信息，体会可以用(大量重复)试验的方法来估计概率．紧紧抓住大量、重复这两个关键词，认识用大量重复试验的频率来估计事件的概率这种方法．4）通过数学实验，观察频率，再次体会随机性与规律性，形成概率的统计定义．其中还可以结合历史上科学家们做抛掷硬币实验的例子，让学生在了解史实的同时，进一步体会大量重复试验的必要性．（二）古典概型的教学需要明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述．扔一个硬币，可以看成只有两个结果：“正面向上”和“正面向下”．每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型．但现实情况是，硬币可能卡在一个缝中，每一面既不向上也不向下．另外,硬币是否均匀，也只能是近似的．同一个现实对象可以用不同的模型来描述．例如物理上，地球有时被看成是一个质点(在研究天体运动时)，有时被看成椭球(飞机的航程)，有时被看成平面(人在地面行走时)．在这里同样如此．同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决．在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型．一题多解所体现的恰是多个模型．下面举一个例子．例1．某人有6把钥匙，但忘记了打开房门的钥匙是哪一把．于是，他逐把不重复地试开．若6把中只有1把能打开房门，则（1）恰好第三次打开房门的概率是多少？（2）最多3次试开一定能打开房门的概率是多少？解法1：把6把钥匙分别编号，能打开房门的钥匙记为“k”．把用6把钥匙逐把试开房门当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），于是每个基本事件就相当于6把钥匙的一个全排列，所有基本事件的个数为．这些结果是等可能的．恰好第三次打开房门，即“k”排在第3位上，共有种结果，故“恰好第三次打开房门（设为事件A）”的概率为．最多3次试开一定能打开房门，即“k”排在前3位上，共有种结果，故“最多3次试开一定能打开房门（设为事件B）”的概率为．解法2：由于本题中讨论的是恰好第三次打开房门的概率，所以，我们可以着眼于前三次，把“从6把钥匙中选出3把，逐把试开房门”当作一次试验．于是，所有基本事件的个数为．这些结果是等可能的．（1）；（2）．解法3：还可以着眼于k的位置．把“用6把钥匙逐把试开房门”当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），但只考虑第几次能打开房门，也就是考虑k排在第几位，这样，就只有6个基本事件．（1）；（2）．解法4：仍把钥匙如前编号．我们只关注第三次（前三次）取到的钥匙．第三次取到的钥匙显然是这6把钥匙之一，即，有6种结果．且每个结果出现的可能性都是相同的．当第三次取到“k”时，第三次恰好打开房门．因此，“恰好第三次打开房门”的概率为；最多3次试开一定能打开房门的概率为．我们希望通过这样的例子让学生很好地体会概率的古典模型、体会概率模型的意义．但其中排列组合并非必要的知识．若将问题改为：有1个黑球和5个白球（除颜色外它们都相同）放在一个袋中，现从中取球，取出记录颜色后再放回．求“第3次取到黑球”的概率．解：由于是有放回地抽取，所以，每次抽取都可以看做是相互独立的，故第3次取到黑球的概率为．对古典概率模型的认识在具体题目中要注意以下问题：（ⅰ）等可能性与非等可能性；（ⅱ）有序取与无