高中数学《导数》教案

导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中g是重力加速度）.当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(tttstss从而，ttsv9.44.29.从上式可以看出，t越小，ts越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，ts无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，ts的极限是29.4.当t趋向于0时，平均速度ts的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于0时，ts无限趋近于某个常数a，就说当t趋向于0时，ts的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线2xy上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(xxxy，所以，割线PQ的斜率xxxxxykPQ2)(22.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，PQk无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：12xy.一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线C，P（00,yx），Q（yyxx00,）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率xykPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线PQ的斜率xykPQ的极限为k.导数的概念（教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/4.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/y＝xyx0lim。几种常见函数的导数(1)0C（C为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln；1(log)logaaxex.(6)xxee)(;aaaxxln)(.导数的运算法则（1）'''()uvuv.（2）'''()uvuvuv.（3）'''2()(0)uuvuvvvv.1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则：如果函数)()(xgxf、有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例1：求下列函数的导数：（1）37xy（2）43xy（3）3534xxy（4）)2)(1(2xxy（5）babaxxf、()()(2为常数)例2：已知曲线331xy上一点)382(，P，求：（1）过点P的切线的斜率；（2）过点P的切线方程.)()(*1/Nnnxxnn0)(/C)()]([)()()]()([/////xCfxfCxgxfxgxf；三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数：（1）28xy（2）12xy（3）xxy22（4）xxy433（5）)23)(12(xxy（6）)4(32xxy2、已知曲线24xxy上有两点A（4，0），B（2，4），求：（1）割线AB的斜率ABk；（2）过点A处的切线的斜率ATk；（3）点A处的切线的方程.3、求曲线2432xxy在点M（2，6）处的切线方程.函数的单调性与极值教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下，比较f(x1)f(x2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二新课讲授1函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数。例1确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2确定函数76223xxy的单调区间。y)(4xf)(1xfoaX1X2X3X4baxy2极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(xf。但反过来不一定。如函数3xy，在0x处，曲线的切线是水平的，但这点x02oaX0baxy)(0xf0)(xf0)(xfoaX0baxy)(0xf0)(xf0)(xfxoy的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设0x使0)(0xf，那么0x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若0x是)(xf的极大值点，则0x两侧附近点的函数值必须小于)(0xf。因此，0x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf。0x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，同理，如上右图所示，若0x是极小值点，则在0x的左侧附近)(xf只能是减函数，即0)(xf，在0x的右侧附近)(xf只能是增函数，即0)(xf，从而我们得出结论：若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值。例3求函数44313xxy的极值。三小结1求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程/y=0的根，这些根也称为可能极值点；xX2oaX3bx1y④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)四巩固练习1确定下列函数的单调区间：（1）7522xxy（2）33xxy2求下列函数的极值（1）672xxy（2）xxy522（3）xxy273（4）323xxy函数的最大与最小值（教学目标：1、使学生掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习：1、___________/nx；2、_____________)()(/xgxfC3、求y=x3—27x的极值。二、新课在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小观察下面一个定义在区间ba,上的函数)(xfy的图象发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间ba,上的函数)(xfy的最大值是______，最小值是_______在区间ba,上求函数)(xfy的最大值与最小值的步骤：1、函数)(xfy在),(ba内有导数．．．；．2、求函数)(xfy在),(ba内的极值3、将．函数)(xfy在),(ba内的极值与)(),(bfaf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值三、例1、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。解：先求导数，得xxy443/令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X－2（－2，－1）－1（－1，0）0（0，1）1（1，2）2y/0＋0－0＋y1345413从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。四、小结：1、闭区间ba,上的连续函数一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点