高中数学《等比数列》教案3苏教版必修5

用心爱心专心1第9课时：§2.3等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技能1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n项和公式；2.掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；二、过程与方法1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力3.经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。三、情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．【教学重点与难点】：重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.【学法与教学用具】：1.学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题2.教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.3.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0q），即：1nnaaq（0q）2.等比数列的通项公式:)0(111qaqaann，)0(11qaqaammn3．}{na成等比数列nnaa1=q（Nn,q≠0）“na≠0”是数列}{na成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若bGa,,成等比数列，则GabG,2叫做a与b的等差中项.6．性质：若mnpq(,,,)mnqpN，则qpnmaaaa7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法用心爱心专心28．等比数列的增减性二、研探新知1．等比数列前n项和公式的推导：方法一：错位相减法一般地，设等比数列123,,,,,naaaa的前n项和是nS123naaaa，由12311nnnnSaaaaaaq得2211111123111111nnnnnnSaaqaqaqaqqSaqaqaqaqaq∴11(1)nnqSaaq,当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq当1q时，1naSn这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法注意：（1）nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况．方法二：运用等比定理有等比数列的定义，qaaaaaann12312根据等比的性质，有qaSaSaaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．方法三：运用方程思想(提取公比q)nSnaaaa321＝)(13211naaaaqa＝11nqSa＝)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决一般地，设等比数列naaaa,,321它的前n项和是方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）用心爱心专心3三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由22,121qaa得，1521)21(144S，102321)21(11010S，从第5项到第10项的和为10S-4S=1008例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11qa的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：12212124244S例3（教材51P例1）求等比数列{}na中，（1）已知；14a，12q，求10S；（2）已知；11a，243ka，3q，求kS．解：（1）101011014[1()](1)102321112812aqSq；（2）112433364113nkaaqSq．例4在ba,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和例5（教材51P例2）求等比数列{}na中，372S，6632S，求na；解：若1q，则632SS，与已知372S，6632S矛盾，∴1q，从而313(1)712aqSq①，616(1)6312aqSq②．②：①得：319q，∴2q，由此可得112a，∴121222nnna．例6（教材51P例3）求数列11111,2,3,,,2482nn的前n项和．解：1111(1)(2)(3)()2482nnSn1111(123)()2482nn11(1)(1)(1)1221122212nnnnnn．说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例7等比数列{}na的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为nS，且6560,802naSS，求：（1）通项公式na；（2）前100项之和100S例8设数列{}na65,1a，若以naaa,,,21为系数的二次方程：Nnxaxann(0121且用心爱心专心42n）都有根、且满足133，（1）求证：}21{na为等比数列；（2）求na；（3）求{}na的前n项和nS。四、巩固深化，反馈矫正五、归纳整理，整体认识1.等比数列求和公式：当1q时，1naSn，当1q时，qqaaSnn11或qqaSnn1)1(1；2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．六、承上启下，留下悬念七、板书设计（略）八、课后记：