高中数学《等比数列》教案5苏教版必修5

用心爱心专心1等比数列的概念与通项公式教学目标1．理解等比数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2．了解等比数列的推导方法；3．掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题．教学重点等比数列的概念qaann1（q为常数）；通项公式：11nnqaa．教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化．教学过程复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容．①等差数列定义：daann1（n≥2）．②等差数列性质：（1）a，A，b成等差数列，由2baA；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq．③等差数列求和公式：2)(1nnaanSdnnna2)1(1．问题情境数列：1，3，5，7，…，2n－1，…2，－1，－4，…，－3n＋5，…1，1，1，…，1，…这些数列均为等差数列，满足an－an－1＝d(n≥2)．我们来观察下列几个数列，看其又有何共同特点？1，2，4，8，16，…263；①5，25，125，625，…；②1，,81,41,21；③是等差数列吗？如果不是，你能试着总结这些数列的特点吗？特点：对于数列①，12nna，21nnaa（n≥2）；用心爱心专心2对于数列②，nna5，51nnaa（n≥2）；对于数列③，1121)1(nnna，211nnaa（n≥2）．共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点．数学理论1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：)0(:1qqaann（n≥2）．前面我们观察的数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21.那么数列1，1，1，…，1，…呢？*说明：（1）“从第2项起”，各项均满足；（2）次序，后项比前项：anan－1＝q，n≥2，或an＋1an＝q；（3）q为常数，体现“等”比；（4）由递推公式，an≠0，且q≠0；an＋1＝an·q；（5）非零常数列既是等差数列，也是等比数列．例1判断下列各数列是否为等比数列？如果是，请写出公比：(1)－1，－5，－25，－125；(2)0，1，2，4，8；(3)1，－12，14，－18，116；(4)a，a，a，a，a．解：(1)该数列是等比数列，q＝5．(2)该数列不是等比数列．(3)该数列是等比数列，q＝－12．(4)当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列是等比数列，公比q＝1．例2求下列等比数列中的未知项：(1)2，a，8；(2)－4，b，c，12．用心爱心专心3解：(1)由题意，得a2＝8a，a2＝16，故a＝±4．(2)由题意，得b－4＝cb＝12c，b2＝－4c，b＝2c2，解得b＝2，c＝－1．推广：如果A，B，C三个数成等比数列，那么B2＝AC，我们把B叫做A，C的等比中项．注意（1）与等差中项不同的是同号两数才有等比中项；等比中项有两个．当0a，0b时，abG也叫做a，b的几何平均数．（2）对于公比为q的无穷等比数列na，如果nan(≥2)是其中除第1项以外的任意一项，那么它的前一项是qan，后一项是qan，由)()(2qaqaannn可知，na是它的前一项与后一项的等比中项．事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项．练习：(1)2与4的等比中项是_____；(－3)2与(－3)－6的等比中项是______．2．等比数列的通项公式例已知等比数列｛an｝的首项a1＝3，q＝2，求a10．若根据递推公式则需求出前9项，则需探求通项公式．此数列的前几项依次为：3，6，12，24，48，利用观察法可得an＝3×2n－1，但需证明是否各项均满足．证法一：对等比数列｛an｝，若首项为a1，公比为q，则a2a1＝q，a3a2＝q，a4a3＝q，…，an－1an－2＝q，anan－1＝q．将这n－1个式子左右两边分别相乘，得ana1＝qn－1，故an＝a1·qn－1．当n＝1时，上述等式也成立．证法二：或者由定义得：qaa12；21123)(qaqqaqaa；312134)(qaqqaqaa；……)0(1111qaqaqaannn用心爱心专心4n=1时，等式也成立，即对一切Nn成立．等比数列的通项公式沟通了a1，an，n与q之间的联系．如：数列①，121nna（n≤64），表示这个等比数列的各点都在函数12xy的图象上.如图所示．数学应用例3已知在等比数列｛an｝中，首项a1＝3，q＝－2，求通项公式an及a6；解an＝3×(－2)n－1，a6＝3×(－2)6－1＝－96．例4已知在等比数列｛an｝中，a3＝20，a6＝160，求通项公式an．解由题意，a3＝a1·q2＝20，a6＝a1·q5＝160，解得q＝2，a1＝5，故an＝5×2n－1．或解a6＝a3·q3，即160＝20q3，解得q=2．故an＝a3×2n－3＝20×2n－3＝5×2n－1．推广的等比数列通项公式an＝am·qn－m．从函数的角度看等比数列的通项公式，根据首项和公比的不同取值，考察等比数列中各项的变化特点．尤其对于q＜0时的等比数列，为摆动数列，相邻两项符号相反，但间隔的两项一定同号．例5一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是1a，公比是q，那么1221qa，①1831qa，②由②÷①可得第23q，③把③代入①可得3161a．∴812qaa．∴这个数列的第1项与第2项分别是316和8．例6已知nnba,是项数相同的等比数列，求证nnba是等比数列．证明：设数列na的首项是1a，公比为q1；nb的首项为b1，公比为q2，那么数列nnba的第n项与第n+1项分别为：nnnnqbqaqbqa2111121111与，用心爱心专心5即为nnqqbaqqba)()(211112111与．∵2112111211111)()(qqqqbaqqbababannnnnn，它是一个与n无关的常数，所以nnba是一个以q1q2为公比的等比数列．例7在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．这3个数依次为多少？解设a1＝243，a5＝3，插入的三个数依次为a2，a3，a4．由题意，q4＝a5a1＝181，解得q＝±13．故此三数依次为81，27，9，或－81，27，－9．借助教材Ｐ50／例3推广的等比中项的概念：或解设a1＝243，a5＝3，插入的三个数依次为a2，a3，a4．a32＝a1·a5＝729，又a3＞0，所以a3＝81．a22＝a1·a3，故a2＝±81，且当a2＝81时，a4＝9；当a2＝－81时，a4＝－9．故此三数依次为81，27，9，或－81，27，－9．例8一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段．如此继续下去，试求第n个图形的边长和周长．解设第n个图形的边长为an．由题意，an＝(13)n－1．第n个图形的边数为3×4n－1，则第n个图形的周长为(13)n－1×3×4n－1＝3×(43)n－1．(1)(2)(3)