高中数学【Word版题库】3.4导数的综合应用

3.4导数的综合应用一、填空题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为________cm.解析设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝13π(400－h2)h＝13π(400h－h3)，∴V′＝13π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝2033.所以当h＝2033cm时，V最大．答案20332．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m1，即m－12.答案m－123．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的________．答案必要不充分条件4．已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，由已知条件0a1，解得0a1.答案(0,1)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析结合二次函数图象知，当a0或a－1时，在x＝a处取得极小值，当－1a0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析设矩形的长为xm，则宽为：16－2x2＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案(－2,2)8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案304059．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是________．解析由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1,0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1,0)上恒成立，∴2a－b－3≥0，b≤0，∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝35，∴a2＋b2≥d2＝95，∴a2＋b2的取值范围为95，＋∞.答案95，＋∞10．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.∴当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a.∴－a＞0－4－a＜0，解得：－4＜a＜0.答案(－4,0)11．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．解析如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝34x2(m2)，∴梯形的面积为34－34x2(m2)，∴s＝433×x2－6x＋91－x2(0＜x＜1)，∴s′＝－833×x－x－－x22，令s′＝0得x＝13或3(舍去)，当x∈0，13时，s′＜0，s递减；当x∈13，1时，s′＞0，s递增．故当x＝13时，s的最小值是3233.答案323312．已有函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)＜0的解集是________．解析在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，图象关于y轴对称，f(x)＞0，∴x＜－1.答案(－∞，－1)∪(0,1)13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.答案4二、解答题14.已知函数3()(0)fxaxcxda是R上的奇函数，当1x时()fx取得极值2.(I)求()fx的单调区间和极大值；(II)证明对任意12,xx(1,1),不等式12|()()|4fxfx恒成立.解析(I)由奇函数定义，应有()(),fxfxxR.即33,0.axcxdaxcxdd因此，3(),fxaxcx2'()3.fxaxc由条件(1)2f为()fx的极值，必有'(1)0,f故230acac解得1,3.ac因此，32()3,'()333(1)(1),'(1)'(1)0.fxxxfxxxxff当(,1)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(,1)上是增函数.当(1,1)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(1,1)上是减函数.当(1,)x时，'()0fx，故()fx在单调区间(1,)上是增函数.所以，()fx在1x处取得极大值，极大值为(1)2.f(II)由(I)知，3()3([1,1])fxxxx是减函数，且()fx在[1,1]上的最大值(1)2,Mf()fx在[1,1]上的最小值(1)2.mf所以，对任意12,(1,1),xx恒有12|()()|2(2)4.fxfxMm15．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈[4,8]时的图象，图象的最高点为B5，833，DF⊥OC，垂足为F.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问：点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？解析(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，由图象知A＝833，ω＝2πT＝2π－＝π6.将B5，833代入到y＝833·sinπ6x＋φ中，得5π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3.故y＝833sinπ6x－π3.(2)在y＝833sinπ6x－π3中，令x＝4，得D(4,4)，所以曲线OD的方程为y2＝4x(0≤x≤4)．设点Pt24，t(0≤t≤4)，则矩形PMFE的面积为S＝4－t24t(0≤x≤4)．因为S′＝4－3t24，由S′＝0，得t＝433，且当t∈0，433时，S′＞0，则S单调递增，当t∈433，4时，S′＜0，则S单调递减；所以当t＝433时，S最大，此时点P的坐标为43，433.16．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，且f′12＝32.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．解析(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是f′(x)＝0的解，∴f＝0，f＝0，即c＝0，3a＋2b＋c＝0，解得c＝0，b＝－32a.∴f′(x)＝3ax2－3ax.又由f′12＝32，得f′12＝3a4－3a2＝32，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤12或x≥1.又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤12.故m的取值范围是0，12.17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800.所以当x＝15cm时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.18．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2fx＋m2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解析(1)根据题意知，f′(x)＝a－xx(x＞0)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)∵f′(2)＝－a2＝1，∴a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3.∴g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴gt＜0，g＞0.由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，∴g＜0，g＜0，g＞0，∴－373＜m＜－9.【点评】利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；,第二步：求函数fx的导数f′x；,第三步：求方程f′x＝0的根；,第