高中数学《2.4等比数列》第1课时评估训练新人教A版必修5

12.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式双基达标限时20分钟1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是()．A．1B.83C.93D.1215解析a4＝a3q＝a3·a2a1＝63×333＝＝30＝1.答案A2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()．A．64B．81C．128D．243解析由a1＋a1q＝3，a1q＋a1q2＝6，，得a1＝1，q＝2，∴a7＝a1q6＝64，选A.答案A3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()．A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.答案B4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．解析法一由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.法二∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.答案－1或25．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.2解析由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得a＝5，则a1＝4，q＝64＝32，an＝4·32n－1.答案4·32n－16．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.综合提高限时25分钟7．下列数列为等比数列的是()．A．2,22,222，…B.1a，1a2，1a3，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…解析A项中，222≠22222，∴A不是；B项是首项为1a，公比为1a的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．答案B8．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则5＋12，5＋12，5＋12()．A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析可分别求得5＋12＝5－12，5＋12＝1，5－12×5＋12＝1，由等比中项易得5＋12，5＋12，5＋12三者构成等比数列．3答案B9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.解析由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.答案2·3n－1－110．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．解析∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，又f(1,1)＝1，∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，∴{f(5，n)}也成等差数列．∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，∴(3)正确，故有3个正确．答案311．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求an.解(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：证明an＋1－n＋an－n＝3an－n＋＋3－n＋an－n＝3an－3nan－n＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.412．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2－n＋2nan(n∈N*)．(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；(2)证明：数列ann是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．(1)解∵Sn＝2－n＋2nan①∴Sn＋1＝2－n＋3n＋1an＋1②②－①得an＋1＝n＋2nan－n＋3n＋1an＋1，即n＋n＋1an＋1＝n＋2nan，即2n＋1an＋1＝1nan.而a1＝2－1＋21a1，∴a1＝12.(2)证明由(1)知an＋1n＋1＝ann·12，而a11＝12，∴ann是以12为首项，以12为公比的等比数列，∴ann＝12·12n－1＝12n，∴an＝n2n.(3)解∵an＋1－pan＝n＋12n＋1－pn2n＝－2pn＋12n＋1.由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，则1－2p＝0，∴p＝12.