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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中数学【配套Word版文档】四.4.6三角恒等变换及应用
§4.6三角恒等变换及应用2014高考会这样考1.利用三角恒等变换求值或化简;2.在三角恒等变换基础上,考查三角函数的图象和性质.复习备考要这样做1.熟练掌握三角函数和差公式、倍角公式;2.会灵活应用公式,掌握一些常用技巧.1.降幂公式sin2α2=1-cosα2;cos2α2=1+cosα2;tan2α2=1-cosα1+cosα.2.几个恒等式(1)sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2;cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ-φ2.(2)万能代换:sinα=2tanα21+tan2α2;cosα=1-tan2α21+tan2α2;tanα=2tanα21-tan2α2.[难点正本疑点清源]1.利用降幂公式可以计算α2的三角函数值,其中的符号由α2所在象限确定.2.公式的逆用、变形用是三角变换的常用技巧.3.注意公式asinα+bcosα形式的三角式子的变形.1.已知cosα=13,α∈(π,2π),则cosα2=________.答案-63解析cosα=2cos2α2-1=13,∴cos2α2=23,∴cosα2=±63,∵α∈(π,2π),∴α2∈π2,π,cosα20,∴cosα2=-63.2.tanπ12-1tanπ12=________.答案-23解析原式=sinπ12cosπ12-cosπ12sinπ12=-cos2π12-sin2π12sinπ12cosπ12=-cosπ612sinπ6=-23.3.若sinπ2+θ=35,则cos2θ=________.答案-725解析∵sinπ2+θ=cosθ=35,∴cos2θ=2cos2θ-1=2×352-1=-725.4.若α,β均为钝角,且sinα=55,cosβ=-31010,则α+β的值为________.答案7π4解析∵α,β为钝角,且sinα=55,cosβ=-31010,∴cosα=-1-sin2α=-1-552=-255,sinβ=1-cos2β=1--310102=1010.∵πα+β2π,故由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-255-31010-55×1010=22,得α+β=7π4.5.f(tanx)=cos2x,则f(3)=________.答案-12解析f(tanx)=cos2x=cos2x-sin2x=cos2x-sin2xcos2x+sin2x=1-tan2x1+tan2x,∴f(3)=1-321+32=-12.题型一三角函数的化简与求值例1(1)已知3π4απ,tanα+1tanα=-103,求5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2的值;(2)已知0απ2βπ,tanα2=12,cos(β-α)=210,求β.思维启迪:(1)求值要对已知和所求式子进行化简;(2)求角β要先从α出发,结合α、β关系求β的范围和三角函数值.解(1)∵3π4απ,∴-1tanα0,由tanα+1tanα=-103,得:3tan2α+10tanα+3=0,∴tanα=-13或tanα=-3(舍去).5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2=521-cosα+4sinα+1121+cosα-8-2cosα=3cosα+4sinα-2cosα=-322-22tanα=-322-22×-13=-526.(2)∵0απ2,tanα2=12,∴tanα=2tanα21-tan2α2=11-14=43.∵sin2α+cos2α=1,∴sinα=45.又因为0απ2βπ,所以0β-απ.因为cos(β-α)=210,所以sin(β-α)=7210.又cosα=1-452=35,所以sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=7210×35+210×45=22.因为β∈π2,π,所以β=3π4.探究提高已知角的范围求角,要选用合适的三角函数,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值时,选正、余弦函数;若角范围是0,π2,正、余弦函数均可;若角范围是(0,π)时,一般选余弦函数;若角范围是-π2,π2时,则一般选正弦函数.(1)化简:1+sinθ+cosθsinθ2-cosθ22+2cosθ(0θπ);(2)求值:1+cos20°2sin20°-sin10°1tan5°-tan5°.解(1)原式=2sinθ2cosθ2+2cos2θ2sinθ2-cosθ24cos2θ2=cosθ2sin2θ2-cos2θ2cosθ2=-cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ,所以0θ2π2,所以cosθ20,所以原式=-cosθ.(2)原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°cos5°sin5°-sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin10°·cos25°-sin25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin10°·cos10°12sin10°.=cos10°2sin10°-2cos10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin30°-10°2sin10°=cos10°-212cos10°-32sin10°2sin10°=3sin10°2sin10°=32.题型二三角形中的恒等变换例2已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin2C2+cosC2=2.(1)求角C的大小;(2)若a,b,c成等比数列,求sinA的值.思维启迪:由2sin2C2+cosC2=2,得cosC2=2(1-sin2C2)=2cos2C2,于是由cosC2≠0,可得cosC2=22,从而C=π2.解(1)由2sin2C2+cosC2=2,得21-cos2C2+cosC2=2,整理得cosC22cosC2-1=0.因为在△ABC中,0Cπ,所以0C2π2.所以cosC2=22(舍去cosC2=0),从而C2=π4,即C=π2.(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由(1)知,△ABC是以角C为直角的直角三角形,所以c2=a2+b2,将b2=ac代入,整理得a2+ac-c2=0,上式两边同除以c2,得a2c2+ac-1=0,因为sinA=ac,所以sin2A+sinA-1=0.又0Aπ2,解得sinA=5-12(舍去sinA=-1-52).探究提高在三角形中,由边角关系求三角函数值或角度,正、余弦定理是转化的工具,解这类问题,充分考查了三角恒等变换的能力.△ABC的三内角分别为A、B、C,向量m=(3sinA,sinB),n=(cosB,3cosA),若m·n=1+cos(A+B),求C.解∵m·n=3sinAcosB+3sinBcosA=3(sinAcosB+sinBcosA)=3sin(A+B)=1+cos(A+B),∴3sinC=1-cosC,∴3sinC+cosC=1,即2sinC+π6=1,∴sinC+π6=12,又C∈(0,π),∴C+π6=56π,∴C=23π.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+π4·sinx-π4.(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.思维启迪:(1)化简f(x),由tanα=2代入求f(α);(2)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,求f(x)的取值范围.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+π4·cosx+π4=1-cos2x2+12sin2x+sin2x+π2=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2,得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45.cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35.所以,f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin2x+π4+12.由x∈π12,π2,得5π12≤2x+π4≤5π4.所以-22≤sin2x+π4≤1,0≤f(x)≤2+12,所以f(x)的取值范围是0,2+12.探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将sin2α,cos2α化为正切tanα,为第(1)问铺平道路.(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f(x)=3sin2x-π6+2sin2x-π12(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合.解(1)因为f(x)=3sin2x-π6+1-cos2x-π12=2[32sin2x-π6-12cos2x-π6]+1=2sin2x-π6-π6+1=2sin2x-π3+1,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)当f(x)取得最大值时,sin2x-π3=1,此时2x-π3=2kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+5π12(k∈Z),所以所求x的集合为{x|x=kπ+5π12,k∈Z}.构造法在三角函数中的应用典例:(14分)已知函数f(x)=2cosxcosx-π6-3sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当α∈[0,π]时,若f(α)=1,求α的值.审题视角(1)在f(x)的表达式中,有平方、有乘积,而且还表现为有不同角,所以要考虑到化同角、降幂等转化方法.(2)当f(x)=asinx+bcosx的形式时,可考虑辅助角公式.规范解答解(1)因为f(x)=2cosxcosx-π6-3sin2x+sinxcosx=3cos2x+sinxcosx-3sin2x+sinxcosx[2分]=3cos2x+sin2x=2sin2x+π3,所以最小正周期T=π.[7分](2)由f(α)=1,得2sin2α+π3=1,又α∈[0,π],所以2α+π3∈π3,7π3,[10分]所以2α+π3=5π6或2α+π3=13π6,故α=π4或α=11π12.[14分]温馨提醒(1)在本题的解法中,运用了二倍角的正、余弦公式,还引入了辅助角,技巧性较强.值得强调的是:辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)(其中tanφ=ba),或asinα+bcosα=a2+b2cos(α-φ)(其中tanφ=ab),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误.在定义域大于周期的区间上求最值时,辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简,二是求值,三是三角恒等式的证明.(1)三角函数的化简要求是项数尽量少,次数尽量低,能求值的则求值,常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解.(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值,对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解.(3)熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形.失误与防范1.三角恒等
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