高中数学专题训练(教师版)—3.4导数的综合应用

高中数学专题训练（教师版）—导数的综合应用一、选择题1．(2011·山东聊城)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)C．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)答案B解析f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝f3－f23－2，∴f(3)－f(2)是图象上x为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m32答案A解析因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32.3．(2011·江苏无锡)若a2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根答案B解析设f(x)＝13x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝183－4a＋1＝113－4a0，f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根．4．(2010·山东卷，文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件答案C解析因为y′＝－x2＋81，所以当x9时，y′0；当x∈(0,9)时，y′0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．二、填空题5．设f(x)＝13x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为________．答案解析f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调减时，由f′1≤0，f′3≤0得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调增时，f′(x)＝0中，Δ＝4a2－4×5≤0，或Δ≥0，f′3≥0，得a∈[－5，5]∪(5，＋∞)．综上：a的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．三、解答题6．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．解(1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，依题意得fx0＝gx0f′x0＝g′x0，即12x20＋2ax0＝3a2lnx0＋bx0＋2a＝3a2x0由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝12a2＋2a2－3a2lna＝52a2－3a2lna.令h(t)＝52t2－3t2lnt(t0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝e13或t＝0(舍去)．列表如下：t(0，e13)e13(e13＋∞)h′(t)＋0－h(t)极大值于是函数h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e13)＝32e23，即b的最大值为32e23.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2lnx－b(x0)，则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－ax＋3ax(x0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．列表如下：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x)．7．将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底，①②③④为侧面，⑤＋⑥为水箱盖．其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为x米，容积为y立方米．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)如何设计x的大小，使水箱的容积最大？解析(1)依据意水箱底的宽为(2－2x)米，长为6－2x2＝(3－x)米，则水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)·x(0x1)即为y关于x的函数关系式．(2)y＝(2－2x)(3－x)·x＝2x3－8x2＋6x(0x1)，∴y′＝6x2－16x＋6.令y′＝6x2－16x＋6＝0得x＝4－73，当0x4－73时，y′0，函数单调递增；当4－73x1时，y′0，函数单调递减，∴当x＝4－73时函数y＝(2－2x)(3－x)·x(0x1)取得最大值．8．已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．解(1)因为f′(x)＝2x－8x，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.(2)因为f′(x)＝2x＋2x－2x，又x0，所以当x2时，f′(x)0；当0x2时，f′(x)0.即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则a≥2a＋1≤7，解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.因为当x0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有唯一的交点．又h′(x)＝4x－8x－14＝2x－42x＋1x，且x0，所以当x4时，h′(x)0；当0x4时，h′(x)0.即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.9．(2010·天津卷，文)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．解析(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，12)f′(x)＋01f(x)极大值当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f－120，f120，即5－a80，5＋a80.解不等式组得－5a5，因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f－120，f1a0，即5－a80，1－12a20.解不等式组得22a5或a－22.因此2a5.综合①和②，可知a的取值范围为0a5.10．(2011·衡水调研)设函数f(x)＝x2＋2x－2ln(1＋x)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1e－1，e－1]时，是否存在整数m，使不等式mf(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，则说明理由．解(1)由1＋x0得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．f′(x)＝2x＋2－2x＋1＝2xx＋2x＋1.由f′(x)0，得x0；由f′(x)0，得－1x0.∴函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f(x)在[1e－1,0]上单调递减，在[0，e－1]上单调递增．∴f(x)min＝f(0)＝0.又f(1e－1)＝1e2＋1，f(e－1)＝e2－e，且e2－31e2＋1，∴x∈[1e－1，e－1]时，f(x)max＝e2－e.∵不等式mf(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立，∴－m2＋2m＋e2≥fxmaxmfxmin，即－m2＋2m＋e2≥e2－3m0⇒m2－2m－3≤0m0⇒－1≤m≤3m0⇒－1≤m0.∵m是整数，∴m＝－1.∴存在整数m＝－1，使不等式mf(x)≤－m2＋2m＋e2恒成立．