高中数学例说圆锥曲线有关最值问题论文

例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。常见求法：1、回到定义例1、已知椭圆221259xy，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PAPB的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义||4||5PAePQ，∴5||||||||4PAPBPQPB.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB|-|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB|-|PC|≤|BC|.当P到P位置时，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为10+|BC|=10210；当P到P位置时，|PB|-|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10210。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线24xy上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。解：设抛物线上的点)4,(2ttP，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离174)21(41754422tttdxyOP'PPAQBC当21t时，174mind，故所求点为)1,21(。例3、已知一曲线xy22，（１）设点A的坐标为)0,32(，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则xy22)0(x31)31(2)32()32(22222xxxyxMA∵x≥094min2MA∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是32AP（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有xaxyaxMA2)()(2222)12()]1([2aax0x综上所述，有aad12)1a()1a(时当时当3、运用函数的性质例4、在△ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c，且c=10,34coscosabBA，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。解：由BAABAAABabBA2sin2sin0sincoscossinsinsincoscos∵134ab∴BA22∴△ABC为Rt△由C=10，且34ab知a=6b=8设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：4)2()2(22yx设圆M上动点P（x,y）(40x)，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为222222222)6()8(xyyxyxPCPBPA10012163322yxyx764])2()2[(322xyx＝88-4x∵点P在内切圆M上，40x，于是88088max721688min例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△0且x1+x20,x1x20,解之得12k,且M221(,)11kkk,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得22211122221bkkkkk，即2222bkk下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在(1,2)上是减函数，可得222bb或。例6、已知P是椭圆2214xy在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P（2cosθ,sinθ），(0θл/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离|22sin()2||2cos2sin2|2222102545555d∴所求面积的最大值为2本例利用三角函数的有界性。反过来，有些代数最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。4、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线xy2上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为),(11yx，),(22yx，那么211yx，222yx①由题意，得2122122)()(3yyxx②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为122xxx③，将①③代入②整理得02432)(42221221xxyyyy④，∵21yy为实数，故△＝0)243(44422xx又∵x0得45x⑤，当45x时，△＝０由④解得4121yy⑥，2214522122)(212221221xyyyyyy，可得221yy⑦，由⑥，⑦可得1y，2y，由①即得相应的1x，2x。故AB的中点M距y轴最短距离为450x，且相应的中点坐标为)22,45(或)22,45(。法二：121xy222xy212221xxyy∴yxxyyk212121∴221222122))(41(9)]()2(1[3yyyyyy∵2221212yyxxx①212yyy②由①－②２得212242yyyx③①＋③得2212)(44yyyx④④代入①得4551924419422xyyx当且仅当1441922yy212y22y时等式成立。∴45minx)22,45(M说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知椭圆2214xy，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：（1）|PF1||PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1||PF2|=mn≤22mn=4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|≥42-2×4=8参考练习：1、过椭圆E：22221xyab（ab0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点。求△MON的面积的最小值。（3ba）2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为32e，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标。（2214xy，所求点为1(3,)2）3、P为椭圆2221xya上的一个动点，它与长轴端点不重合，2a，点F1和F2分别是双曲线2221xya的左右焦点，ф=∠F1PF2,（1）求tgф的表达式；（用a及描述P位置的一个变量来表示）（2）当a固定时求ф的最小值ф0；（3）当a在区间[2,3]上变化时，求ф0的取值范围。（2022021(1)1aytgay，20211aarctga，02[,2]3arctg）4、已知抛物线的方程为212yxm，点A、B及P（2,4）均在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．(1)求证：直线AB的斜率为定值；（2）(2)当直线AB在ｙ轴上的截距为正时，求△PAB面积的最大值．（最大值为6439，当b=163时取到。）