高中数学函数的极值和最值

函数的极值和最值本节内容提要:一、极值及其求法1.极值的定义2.极值存在的必要条件和充分条件二、最大值与最小值本节重点:极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法本节难点:极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的关系,求极值和最值的方法一、极值及其求法1.极值的定义:定义:设y=f(x)在某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于的任意点x都有:(1)f(x)f(),则称f()为f(x)的极大值,称为f(x)的极大值点;(2)f(x)f(),则称f()为f(x)的极小值,称为f(x)的极小值点;极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.注:(1)极值是局部概念,极值不一定是最值;(2)极值不唯一,极大值不一定比极小值大0x0x0x0x0x0x0x0x000000()()xx0;()()xx0fxfxxxfxfxxx00000证:设f(x)在x可导,f(x)为极大值(极小值的情形可类似证明),由极大值定义,在x的某邻域内,对于任意xx均有f(x)f(x)成立,于是当时,当时,2.极值存在的必要条件和充分条件:(1)必要条件定理若函数f(x)在可导,且在处取得极值,则0()0fx0x0x00000000000()()()lim0;()()()lim0()()()0xxxxfxfxfxxxfxfxfxxxfxfxfx注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。例x=0是函数的驻点而非极值点;3yx（2）极值存在的第一充分条件定理：设函数f(x)在点的某一邻域内可导且(1)若x时，;当x时,则f(x)在点处取得极大值f()(2)若x时，;当x时，,则f(x)在点处取得极小值f()(3）若x从的左侧变化到右侧时，不变号，则f(x)在处无极值.注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx'()fx0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x235233212133333(25)'2510101010(1)'()3333'0x=1,x=0'xyxyxyxyyxxxxxx例1求的极值点和极值解:定义域为(-,+)令得当时不存在x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+不存在-0+y↗极大值0↘极小值-3↗'y函数有极大值f(0)=0极小值f(1)=-3（3）第二充分条件定理：设f(x)在点的某邻域内一阶可导，在x=处二阶可导，且,,(1)若,则f(x)在点取得极大值(2)若,则f(x)在点取得极小值。0()0fx0()0fx0()0fx0()0fx0x0x0000000000'()'()()0,()lim0'()'()0(xx)'()()00xxfxfxfxfxxxfxfxxxfxfxxx0证:由于则所以在x的某邻域有0x0x000'()0;'()0()xxfxxxfxfx从而,当时当时由第一充分条件可知,为f(x)的极大值(同理可证(2))2693(1)(1)1,3xxxx3221例2求f(x)=x-3x-9x+5的极值解一:f(x)=3x令f(x)=0,得xx(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+0-0+f(x)↗极大值10↘极小值-22↗f(x)2:693(1)(1)1,3()66(1)120f(-1)=10(3)120f(3)=-22xxxxfxxff21解二f(x)=3x令f(x)=0,得x函数有极大值函数有极小值二、最大值与最小值1.设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最值求最值的方法：①求②求出f(x)在[a,b]内的所有驻点和不可导点(i=1,2,…n)③求f(a),f(b),f(),其中最大(小)的即为f(x)在[a,b]上的最大(小)值。f(x)ixix164(2)(2)0,2,2(0)2,(2)14,(1)5,(3)11[13](3)11(2)14xxxxffffff423123例3求y=x-8x+2在[-1,3]上的最值解:y=4x令y=0,得xxx所以函数在上的最大值为最小值为2．f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？解：设小正方形的边长为a盒子的容积22128120,()62VaaxxaaVxx令舍去2a(2)x(0,)2Vxax函数在定义区间驻点唯一，由问题性质知最大容积一定存在，所以，当正方形的边长为，即从四角各截去一边长为的小正方形，可使盒子的容积最大例5：一张1.4米高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8米，问观察者应站在据墙多远处看图才清楚，（即视角最大）？6a6a2222x(0,+)-3.21.8==0,x3.2x1.8解:设观察者距墙x米,视角为1.4+1.81.8=arctanarctanxx3.21.8arctanarctanxx令得x=2.4由问题的性质知最大倾角一定存在,所以当观察者站在距墙2.4米时看图最清楚.返回