高中数学合情推理与演绎推理

13.2合情推理与演绎推理一、填空题1．下列表述正确的是________．①归纳推理是由部分到整体的推理②归纳推理是由一般到一般的推理③演绎推理是由一般到特殊的推理④类比推理是由特殊到一般的推理⑤类比推理是由特殊到特殊的推理解析归纳推理是由个别到一般的推理，故②错．答案①③⑤2．已知数列{an}满足an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈N*)叫做幸运数，则k∈[1,2011]内所有的幸运数的和为________．解析a1·a2·a3·…·ak＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·…·k＋k＋＝k＋lg2＝log2(k＋2)为整数，所以k＝2t－2(t∈N*)，又k∈[1,2011]，所以k＝2,22,23，…，210，和为2(210－1)＝2046.答案20463．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案－g(x)4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案1∶85.设等差数列{na}的前n项和为nS则484SSS1281612SSSS成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{nb}的前n项积为nT则4T,1612TT成等比数列.解析由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性:设等比数列{nb}的公比为q,首项为1b则46812782841811TbqTbqbq12121112661211Tbqbq∴4224388121148TTbqbqTT即2812448()TTTTT故812448TTTTT成等比数列.答案84TT128TT6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________(请写出化简后的结果)；解析类比可得－1×(x－1)－2×(y－2)＋(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.答案x＋2y－z－2＝07．已知5×5数字方阵a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a45a51a52a53a54a55中，aij＝1j是i的整数倍，－j不是i的整数倍则j＝25a3j＋i＝24ai4＝________.解析j＝25a3j＋i＝24ai4＝(a32＋a33＋a34＋a35)＋(a24＋a34＋a44)＝(－1＋1－1－1)＋(1－1＋1)＝－1.答案－18.已知an＝(13)n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：a1a2a3a4a5a6a7a8a9…记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝________.解析由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3,5,7,9，…，可得前10行共有10(1＋19)2＝100个数，A(11,12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{an}的第100＋12＝112个数，即可得A(11,12)＝(13)112，故应选D.答案(13)1129．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测m－n＋p＝________.解析m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案96210．如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．1234567…35791113…812162024…………解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216.答案216(或65536)11．已知m＞0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，可推广为x＋mxn≥n＋1，则m的值为________．解析x＋4x2＝x2＋x2＋4x2，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋mxn＝xn＋xn＋…＋xn＋mxn，也满足各项乘积为定值1，于是m＝nn.答案nn12．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，点G是△ABC外接圆的圆心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是△BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则AOOM＝________”．解析如图，设四面体ABCD的棱长为a，则由M是△BCD的重心，得BM＝33a，AM＝63a，设OA＝R，则OB＝R，OM＝63a－R，于是由R2＝33a2＋63a－R2，解得R＝64a，所以AOOM＝64a63a－64a＝3.答案313.将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形((1)，(2)分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝，…，f(n)＝.解析当n＝3时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a，x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2,2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2，6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，即g＝13而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋13＝103，进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n－1)中有an－1(n＞1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝33，f(2)＝63＝3＋33＝f(1)＋33，f(3)＝103＝f(2)＋43，f(4)＝5＝f(3)＋53，…可得f(n)＝f(n－1)＋n＋13，所以f(n)＝f(n－1)＋n＋13＝f(n－2)＋n＋13＋n3＝…＝n＋13＋n3＋n－13＋…＋33＋f(1)＝n＋13＋n3＋n－13＋…＋33＋23＋13＝16(n＋1)(n＋2)．答案10316(n＋1)·(n＋2)二、解答题14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.(1)求第n行实心圆点个数与第n－1，n－2行实心圆点个数的关系.(2)求第11行的实心圆点的个数.【解题指南】设出第n行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第n－1行的关系由题意不难得出，整理可得解.【解析】(1)设第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得bn＝an－1an＝an－1＋bn－1，∴an＝an－1＋bn－1＝an－1＋an－2，即第n行实心圆点个数等于第n－1行与第n－2行实心圆点个数之和.(2)由(1)可得数列{an}为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.【方法技巧】解决“生成”数列的方法解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n项与第n－1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.15．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解析由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.16．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥FA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED＝AF.(结论)上面的证明可简略地写成：∠BFD＝∠A⇒DF∥EADE∥FA⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.17．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.解析(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋2n2个2＋3＋3＋…＋3n2个3＝52n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝52(n－1)＋2＝52n－12.综上所述：Sn＝52nn为偶数，52n－12n为奇数18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1