高三数列大题放缩法的应用

第1页（共32页）2015年10月31日nksage的高中数学组卷一．解答题（共21小题）1．（2014•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn．（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．2．（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an}的前n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．3．（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．4．（2014•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．5．（2013•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．第2页（共32页）6．（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．7．（2015•重庆）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．8．（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．9．（2012•重庆）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．10．（2013秋•梁子湖区校级月考）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{an}的通项an=1+．11．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1．12．（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列第3页（共32页）（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）13．（2011•重庆）设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤ak≤．14．（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．15．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1（a1∈R），且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对n∈N*，试比较与的大小．16．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An=+++…+，Bn=++…+，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．17．（2009•江西）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．（1）当时，求通项an；（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．18．（2008•安徽）设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1﹣c，n∈N*，其中c为实数（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；（2）设，证明：an≥1﹣（3c）n﹣1，n∈N*；第4页（共32页）（3）设，证明：．19．（2008•江西）数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求an，bn；（2）求证．20．（2006•上海）已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2．设该数列的前n项和为Sn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中常数a＞1．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a=，数列{bn}满足bn=（n=1，2，…，2k），求数列{bn}的通项公式；（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤4，求k的值．21．（2002•北京）数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=，n∈N．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1；（Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求xn的值．第5页（共32页）2015年10月31日nksage的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．（2014•浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn．（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．解答：解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则=4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…an=（n∈N*）得：，第6页（共32页），∴bn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵cn===．∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4．点评：本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．2．（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an}的前n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．菁优网版权所有专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．第7页（共32页）分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前n项和Tn；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．解答：解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则an=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴an=，n≥1，则a3=；（2）∵an=，n≥1，∴数列{an}是公比q=，则数列{an}的前n项和Tn==2﹣21﹣n．（3）bn=+（1+++…+）an，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴bn=+（1+++…+）an，∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），第8页（共32页）设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+2lnn，即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．点评：本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．3．（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①第9页（共32页）当n≥2时，②①﹣②得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{an}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．点评：熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键．4．（2014•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an与Sn的关系，将条件转化为an的方程，从而求出an；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．解答：解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．第10页（共32页）（2）由得：．∵an＞0（n∈