高中数学备课精选2.2.2《等差数列前n项和》同步练习新人教B版必修5

-1-等差数列的前n项和·例题解析【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得10ad=140aaaaa=5a20d=1251135791＋＋＋＋＋＋101012()解得a1=113，d=－22．∴其通项公式为an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=36111即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S(n1)dS(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知，有′化简，得解之，得④SSnndnndndndnn111121229131222913()()()()nd=511-2-由①，有(2n＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d=111n=5∴共插入10个数．【例5】在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)[a(mn1)d]m+n11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且Sm＝Sn，m≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(mn)[a(mn1)d]=0mna(mn1)d0111212∴Sm+n＝0【例6】已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．分析nS=nadan11等差数列前项和＋，含有两个未知数，nn()12d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．解dSnad3a3d=21ba15d=24n111设公差为，由公式＝＋得＋＋nn()12解方程组得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11-3-由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a2n110n=5.5{a}5nn112其余各项为负．数列{an}的前n项和为：S9n(2)=n10nn2＝＋－－＋nn()12∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n当n＞6时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50即－＋≤－＋＞∈T=n10nn5n10n50n6n*n22N说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an|｝的前n项和．【例7】在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34又＝＋×S20ad20120192＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170解法二S=(a+a)202=10(aa)20120120×＋由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得(a2d)(abd)12a3da5d=41111＋＋＝－①＋＋＋－②由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10-4-最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6，a7=2d=a=2a10S1807120a373，＝－，＝【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若STnnabnn231100100，则等于[]A1BCD．．．．23199299200301分析nS=n(a+a)nn1n该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．abSTnnnn1001002312解法一∵，∴∴SnaaTnbbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()11111122231∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199∴××选．abab100100199199=ab=21993199+1=199299C11解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋bn∵STnnnn231可设Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k-5-∴∴××abSSTTnknknnknnknnnnabnnnnnn1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()]说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由已知，将和写成什么？若写成，＋，STnnnn231STS=2nkT=(3n1)knnnnk是常数，就不对了．【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(4)已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析与解答(1)a=a(62)dd=562＋－＝－1734a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350∵∴＋×＋S=(a+a)(n+2)2n2=2135019+89=25n=23a=a=a24dd=3512n+21n+2n+2251故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．21111286112351223(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25-6-S=(a+a)2020120××210250417()aa(4)∵an=33－3n∴a1＝30S=(a+a)n2n1n·×()()633232632322123218222nnnnn∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．【例13】等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n项和Sm+n．解法一设{an}的公差d按题意，则有SnadmSmadn(mn)ad=nmn1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－nnmmmnmn()()()()121212即＋－∴··ad=11mnSmnamnmndmnamndmn12121211()()()()()=－(m＋n)解法二设Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)AmBmnAnBnm22＋＝①＋＝②①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)-7-即Sm+n＝－(m＋n)说明a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不ad11mn12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？解∵S偶项－S奇项=nd∴nd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27nd15(2n1)d27n=5＝－＝∴【例15】在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S=17adS9ad1719117162982∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2∴＝＋－－＋－－＋S25n(2)=n26n=(n13)169n22nn()12∴当n=13时，Sn最大，最大值S13＝169解法二因为a1=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{an}是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．na0a0nnn+1∵a1＝25，S9＝S17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725dd=29817162∴an=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27-8-∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{an}是等差数列∴可设Sn＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大