高三数学复习笔记

1高中数学复习笔记（整理于2015-5）一、函数1、两个函数的对称性：①y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称②y=f（x）与y=—f（x）关于x轴对称③y=f（x）与y=—f（-x）关于原点对称④y=f（x）与y=f1（x）关于y=x对称注：函数与其反函数之间的一个有用的结论：.bf1abaf原函数与反函数图象的交点不全在y=x上；1yfxa只能理解为xfy1在x+a处的函数值。⑤y=f（a+x）与y=f（a—x）关于y轴对称例子可以自己举。注意如下“翻折”变换：fxfxfxfx()()()(||)2、函数本身的对称性①偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。②若函数y=f（x）满足f(a+x)=f(a-x),则函数关于x=a对称（即：相加能消x，除2对称轴，相减能消x得数是周期）注意与上述第⑤点的区别。3、奇偶性（函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点左右对称）①奇函数的导数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，但反之不成立证：设)()(xfxf，两边求导即可。②复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.③既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）④在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。⑤。时有意义，则是奇函数且在若0f(0)0xf(x)4、平移：函数图像的平移口诀：左加右减，上加下减。特别需要注意的是：在左加右减中，无论加还是减，如果x前方有系数（包括负号），都必须先把系数提取出去之后再加减，这时候的加减量才是函数的平移量。例如：将函数y=sin（2x+3）向右边平移个单位后，图像关于y轴对称，求的最小正值。（125）5、一阶导数决定单调性、二阶导数决定凹凸性，二阶导数大于0的函数是凹函数，反之2是凸函数6、必须掌握的几种常见函数的图象①二次函数y=a2x+bx+c（a0）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值，）②指数函数xay（10aa且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）③幂函数axy（10aa且）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系）④对数函数y=logax（10aa且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）⑤对勾函数y=xax（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间）⑥背靠背函数y=xax-（a为正的常数）⑦三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）xAycos+xAsin=y或的图象和性质要熟记。正弦型函数（）振幅，周期12||||AT若，则为对称轴。fxAxx00。为对称中心，反之也对，，则若0000xxf（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点202322xxy（x，y）作图。（）根据图象求解析式。（求、、值）3A先根据振幅，求出A，再求周期，然后得出的值，最后利用五点法求⑧抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：①正比例函数型：()(0)fxkxk---------------()()()fxyfxfy；3②幂函数型：2()fxx--------------()()()fxyfxfy，()()()xfxfyfy；③指数函数型：()xfxa------------()()()fxyfxfy，()()()fxfxyfy；④对数函数型：()logafxx-----()()()fxyfxfy，()()()xffxfyy；⑤三角函数型：()tanfxx-----()()()1()()fxfyfxyfxfy(2)赋值法、结构变换法为奇函数。，证明满足，如：①)()()()()(xfyfxfyxfxfRx（先令再令，……）xyfyx000()是偶函数。，证明满足，②)()()()()(xfyfxfxyfxfRx（先令·xytfttftt()()()∴ftftftft()()()()∴……）ftft()()……③证明单调性：2122)(xxxfxf7、函数中的最值问题：Ⅰ.二次函数最值问题结合对称轴及定义域进行讨论。①已知函数f（x）=]2,1[,122xaxx，求f（x）的最小值②已知函数f（x）=]2,[,122aaxxx，)0(a求f（x）的最小值Ⅱ.利用均值不等式典例：已知x、y为正数，且x222y=1，求x21y的最大值分析：x21y=）（221yx=21222）（yx（即设法构造定值x222y=1）=）（21222yx221222yx=423故最大值为4234注意如下结论：ababababababR22222，Ⅲ.三角换元法上题亦可用三角代换求解即设x=cos，2y=sin求解Ⅳ.通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。如：求函数y=lnx-x+1的最大值Ⅴ.利用函数的单调性典例：求t21322t的最小值（分析：利用函数y=xx1在（1，+）的单调性求解，解略）Ⅵ.数形结合例：已知x、y满足x422y，求65xy的最值8、周期问题函数y=f（x）满足f（x+a）=f（x），周期为af（x+a）=-f（x）周期为2af（x+a）=)(1xf周期为2a(以上a皆不为0)若定义在R上的函数有两条对称轴，则该函数为周期函数，周期为两条对称轴距离的两倍一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如xyxysin,sin2的周期都是,但xxycossin则不是）函数xyxyxycos,sin,sin2都不是周期函数二、不等式1．穿根法解不等式用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：xxx1120232．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论1logxa如：解不等式53.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式||xx311（解集为）xx|124．证明较简单的不等问题会用不等式||||||||||bababa5．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）如：恒成立的最小值afxafx()()afxafx()()恒成立的最大值的最小值有解)()(xfaxfa的最大值有解)()(xfaxfa还有以下四种类型须作了解①),(),,(21dcxbax使得)()(21xgxf恒成立),(),,(21dcxbax时，minmin1)()(xgxf②),(),,(21dcxbax使得)()(21xgxf恒成立),(),,(21dcxbax时，maxmin1)()(xgxf③),(),,(21dcxbax使得)()(21xgxf恒成立),(),,(21dcxbax时，minmax1)()(xgxf④),(),,(21dcxbax使得)()(21xgxf恒成立),(),,(21dcxbax时，maxmax1)()(xgxf三、圆锥曲线1、离心率圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0e1）、抛物线（离心率e=1）、双曲线（离心率e1）。2、焦半径椭圆：PF1=a+ex0、PF2=a-ex0（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F1为椭圆左焦点、F2为椭圆右焦点）6双曲线：PF1=|ex0+a|、PF2=|ex0-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F1为双曲线左焦点、F2为双曲线右焦点）双曲线焦点到其渐近线距离为b抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）3．圆锥曲线中的面积公式：（F1、F2为焦点）设P为椭圆上一点，21PFF=，则三角形F1PF2的面积为：b2tan2三角形中利用余弦定理整理即可注：|PF1||PF2|cos22=b2为定值设P为双曲线上一点，21PFF=，则三角形F1PF2的面积为：b2cot2注：|PF1||PF2|sin22=b2为定值4．圆锥曲线与圆锥曲线相切问题不可用判别式判断（会产生增根）如：1422yx与1)3(22yx5.若已知两个圆相交，则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，若点（x0，y0）在已知圆外，则x0x+y0y=r2表示切点弦四、数列求和裂项法：若na是等差数列，公差为d（0ia）则求13221nnnaabaabaabs时可用裂项法求解，即ns=db（13221111111nnaaaaaa）=11naabn求导法：（典例见高三练习册p86例9）倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列na1即可累加法求通项累乘法求通项五、集合与简易逻辑1.从集合角度来理解充要条件：若AB，则称A为B的充分不必要条件，此时B为A的必要不充分条件，（越大越必要，越小越充分）若A=B，则称A为B的充要条件72．集合A、B，BA时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否忘记.3．对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n4．BCACBACIII)(，BCACBACIII)(。“p且q”的否定是“非p或非q”，“p或q”的否定是“非p且非q”。在反证法中的相关“反设”你清楚吗？5．“≥”的涵义你清楚吗？不等式2(2)230xxx的解集是|3xx对吗？附：简易逻辑之——否定词：（所谓否定，即事物的对立面）原词=是都是至多有一个至多有n个至少有一个任意的否定不是不都是至少有两个至少有n+1个一个也没有某个原词任两个p或q能否定某两个P且q不能注：以上否定词只是针对一般的情况而言而非绝对，遇到特殊问题还需具体分析六、二项展开式系数：C0n+C1n+C2n+…Cnn=2n（其中C0n+C2n+C4n+…=21n；C1n+C3n+C5n+…=21n）例：已知101022101032)1()1()1()1(xaxaxaaxxxx求?921aaa七、离散型随机变量的期望与方差E（a+b）=aE+b；E（b）=bD（a+b）=a2D；D（b）=0D=E2—（E）2特殊分布的期望与方差（0、1）分布：期望：E=p；方差D=pq二项分布：期望E=np；方差D=npq注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。八、向量与直线1．向量在几何中的一些应用①给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线/8②在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形;③在平行四边形ABCD中，给出||||ABADABAD，等于已知ABCD是矩形;④在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；⑤在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重