高中数学必修5新教学案：3.3.2简单的线性规划问题(2)

1必修53.3.2简单的线性规划问题（学案）（第2课时）【知识要点】1．二元线性规划问题；2．线性规划问题在实际中的简单应用．【学习要求】能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第89页～第91页）1．在线性约束条件下，最优解是唯一的吗？２．将目标函数的直线平移时应注意什么？3．在线性目标函数yxz23中，将直线zyx23向上平移时，z的值；直线zyx23向下平移时，z的值．【基础练习】1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为元元、20003000。甲、乙产品都需要在BA、两种设备上加工，在每台BA、设备上加工件1甲产品所需工时分别为１ｈ、２ｈ，加工１件乙产品所需工时分别为２ｈ、１ｈ，BA、两种设备每月有效使用台时数分别为400ｈ和500ｈ．如何安排生产可使收入最大？【典型例题】2例1要将两种大小不同的钢板截成CBA,,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要CBA,,三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐t4、硝酸盐t18；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐t1、硝酸盐t15．现库存磷酸盐t10、硝酸盐t66．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？变式训练：（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A3原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（）．（A.）12万元（B）20万元（C）25万元（D）27万元１．完成一项装修任务，请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（）．（Ａ）20004050yx20004050)(yxB)(C20004050yx20005040)(yxB２．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项任务的线性目标函数为．３．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个、绘画标牌3个现有两种规格的原料，甲规格每张２ｍ3，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙规格每张２ｍ2，可做文字标牌2个、绘画标牌1个．为了使总用料面积最小，则甲规格原料应用张，乙规格原料应用张．４．线性目标函数yxz在线性约束条件.,02,3ayyxyx下取得最大值时的最优解只有一个，实数a的取值范围是．５．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?6．某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石45t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为元．5必修53.3.2简单的线性规划问题（教案）（第2课时）【教学目标】1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．【重点】利用图解法求得线性规划问题的最优解．【难点】１.把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答；２.求最优解是整数解新疆学案王新敞【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第89页～第91页）1．在线性约束条件下，最优解是唯一的吗？（不一定，最优解可能有一个也可能有多个．）２．将目标函数的直线平移时应注意什么？(①要保证目标函数的直线平移时一定要过可行域内的点；②要注意直线向上（或向下）移时z的值是增大还是减小？）3．在线性目标函数yxz23中，将直线zyx23向上平移时，z的值增大；直线zyx23向下平移时，z的值减小．【基础练习】1．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为元元、20003000。甲、乙产品都需要在BA、两种设备上加工，在每台BA、设备上加工件1甲产品所需工时分别为１ｈ、２ｈ，加工１件乙产品所需工时分别为２ｈ、１ｈ，BA、两种设备每月有效使用台时数分别为400ｈ和500ｈ．如何安排生产可使收入最大？（答案：每月生产甲产品200件，生产乙产品100件可使收入最大．）【典型例题】例1要将两种大小不同的钢板截成CBA,,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格6第一种钢板211第二种钢板123今需要CBA,,三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？【审题要津】列出线性约束条件与目标函数后用图解法去求，但要注意钢板的张数都是整数，故最优解应是整点．解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两种钢板共z张，根据题意可得约束条件为：.0,0,273,182,152yxyxyxyx目标函数为yxz，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域：作出在一组平行直线zyx，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线273yx和直线152yx的交点A（539,518），直线方程为yx=557新疆学案王新敞由于539518和都不是整数，而最优解（yx,）中，yx,必须满足yx,∈Z，所以，可行域内点(539,518)不是最优解新疆学案王新敞经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是yx=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解新疆学案王新敞答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张新疆学案王新敞【方法总结】最优解是整点时，可以用网格法去找，也可以在可行域内Ａ点附近去实验，但要注意不能丢，要找全．例2一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐t4、硝酸盐t18；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐t1、硝酸盐t15．现库存磷酸盐t10、硝酸盐t66．若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？【审题要津】可以先将已知数据列成表格，弄清题意，再解题．解：设生产甲种肥料x车皮、一种肥料y车皮，能够产生利润z万元．那么约束条件为C(4,8)B(3,9)A王新敞2x+y=15x+2y=18x+3y=27x+y=0277.5159180xy7．0,0,661518,104yxyxyx目标函数为yxz50．，作出可行域如图把yxz50．变形为zxy22，得到斜率为2，在y轴上的截距为z2，随z变化的一族平行直线．由图可看出，当直线zxy22经过可行域上的点M时，截距z2最大，即z最大．解方程组．104,661518yxyx得M的坐标为22yx，．所以350maxyxz．．答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元．【方法总结】变式训练：（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（Ｄ）．（A.）12万元（B）20万元（C）25万元（D）27万元１．完成一项装修任务，请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是（Ｂ）．（Ａ）20004050yx20004050)(yxB)(C20004050yx20005040)(yxB２．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项任务的线性目标函数为yxz46．３．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个、绘画标牌3个现有两种规格的原料，甲规格每张２ｍ3，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙规格每张２ｍ2，可做文字标牌2个、绘画标牌1个．为了使总用料面积最小，则甲规格原料应用１张，乙规格原料应用１张．8４．线性目标函数yxz在线性约束条件.,02,3ayyxyx下取得最大值时的最优解只有一个，实数a的取值范围是2a．５．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?解：设甲煤矿向东车站运l万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元)新疆学案王新敞即z=780－0.5x－0.8y.x、y应满足：360)300(2002800300020000yxyxyxyx作出上面的不等式组所表示的平面区域新疆学案王新敞设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280)新疆学案王新敞把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小新疆学案王新敞∵点M的坐标为(0，280)，答：甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少6．某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品消耗量资源甲产品（1t）乙产品(1t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t)49360利润（元）6001000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，200x=200280y=3002801