高三边缘生辅导专题一函数与导数

1专题一函数与导数考点一函数及其表示【例1】已知函数22log(1)1,1(),1xxfxxx，若()3fa，则a.【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】函数lg(1)()1xfxx的定义域是（）A．(1,)B．[1,)C．(1,1)(1,)D．[1,1)(1,)【例3】已知函数32,0,4tan,0,2xxfxffxx则________.【举一反三】已知2,0,()(1),0.xxfxfxx则4()3f的值等于．考点二函数的性质1、单调性函数的单调性判断方法：（1）定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的12,xx，且12xx，若12()()fxfxÛf(x)在D上单调递增；若12()()fxfxÛf(x)在D上单调递减.（2）导数法：若函数在某个区间D可导，如果'f(x)0，那么函数f(x)在区间D内单调递增；如果'f(x)0，那么函数f(x)在区间D内单调递减.(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.（4）间接法例题解析1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是________．①f(x)＝1x②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝ex④f(x)＝ln(x＋1)2．函数y＝x－4＋15－3x的值域是________．3．若函数f(x)＝x＋ax(a0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x10，则下列结论正2确的是________．①f(3)f(－2)f(1)②f(1)f(－2)f(3)③f(－2)f(1)f(3)④f(3)f(1)f(－2)5．若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______6．已知函数f(x)＝ax(x0)，(a－3)x＋4a(x≥0)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x20成立，则a的取值范围是________．2、奇偶性（1）．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，则称y=f(x)为奇函数。（2）.性质：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]（3）．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系例题解析1、若函数2()(2)(1)3fxkxkx是偶函数，则k=_____________.2．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为（）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.14．设f(x)为定义域在R上的偶函数，且f(x)在)3(),(),2(,)0[fff则为增函数的大小顺序为（）A．)2()3()(fffB．)3()2()(fffC．)2()3()(fffD．)3()2()(fff35.(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B.0，12C.12，2D．(0,2]6.如果定义在区间［3-a,5］上的函数f(x)为奇函数，那么a=7．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f(x)是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f(－3)=0，则不等式)(xfx0的解集是.8、已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________．考点三指数函数、对数函数、幂函数幂函数yx图象永远过（1,1），且当0时，在(0,)x时，单调递增；当0时，在(0,)x时，单调递减.【例1】0.220.20.2log2,log3,2,0.2abcd，则这四个数的大小关系是（）A.abcdB.dcabC.bacdD.badc例2】已知,,abcR，函数2()fxaxbxc，若(0)(4)(1)fff，则（）A、0,40aabB、0,40aabC、0,20aabD、0,20aab4例3】函数1,341x,22)(2xxxxxf的图象与函数)1ln()(xxg的图象的公共点个数是个举一反三：1、若函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)2、已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a0且a≠1)，若f(3)·g(3)0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是考点四函数图象【例1】、函数y＝log2|x|x的大致图象是()【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cossinyxxx的图象大致为5【举一反三】函数y＝－xcosx的部分图象是（）考点五函数的零点（１）方程()0fx有实根Û函数()yfx的图象与x轴有交点Û函数()yfx有零点．（２）如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb那么，函数()yfx在区间(,)ab内有零点，即存在c(ab)，，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根【例2】【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（文）】函数22xfxax的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是.【例2】若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝cosπxx0，log3xx0，则f(x)的图象上的“镜像点对”有()A．1对B．2对C．3对D．4对考点六导数的运算及其意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【例1】【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】曲线lnyx在点(,1)e处的切线方程为.6【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数321()-223fxxxx，若存在满足003x的实数0x，使得曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线与直线100xmy垂直，则实数m的取值范围是（）A．[6,)B．(,2]C．[2,6]D．[5,6](1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋lnx相切于点P(1,4)，则b的值为()A．3B．1C．－1D．－3(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于()A．－2B．－1C．1D．2考点七导数的应用（单调性、极值、最值）1．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．2．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．3．四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sinx)′＝cosx.(2)(cosx)′＝－sinx.(3)(ax)′＝axlna(a0，且a≠1)．(4)(logax)′＝1xlna(a0，且a≠1)．(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．7(6)''2()()()(),(()0)()fxfxgxfxgxgxgxgx轾-犏=?犏臌（）（）1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)0的必要不充分条件．2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．3．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．【例1】函数()lnfxxx的单调递增区间是（）A.(1,)B.(,0)C.(1,)(,0)D.(,)e【例2】已知322()+fxxaxbxa在1x处有极值为10，则ab的值=__________.【例3】已知222()2xaxafxx区间[1,)是增函数，求实数a的取值范围.8【举一反三】.1、已知函数21()ln()2fxxaxaR（1）若()fx在x=2时取得极值，求a的值；（2）求()fx的单调区间；（3）求证：当1x时，2312ln23xxx.2．【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c（1）求a、b的值；（2）若()fx有极大值28，求()fx在[3,3]上的最大值．3、已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．①讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；②若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围；③当0xye2且x≠e时，试比较yx与1－lny1－lnx的大小．