高中数学教学论文椭圆中的一组“定值”命题苏教版

1椭圆中的一组“定值”命题圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。命题1经过原点的直线l与椭圆)0(12222babyax相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则PNPMkk为定值22ab.证明：设),(P00yx，),(M11yx，),(N11yx，则2120212010101010xxyyxxyyxxyykkPNPM（*），而点P、M均在椭圆12222byax上，故)1(220220axby，)1(221221axby，代入（*）便可得到22abkkPNPM.练习：已知A、B分别是椭圆191622yx的左右两个顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，则BAPPkk.（答案：169）.命题2设A、B、C是椭圆)0(12222babyax上的三个不同点，B、C关于x轴对称，直线AB、AC分别与x轴交于M、N两点，则ONOM为定值2a.证明：设),(A11yx，),(B22yx，),(C22yx，则直线AB的方程为)(121211xxxxyyyy，令0y得M点的横坐标121221121211yyyxyxxyyxxyxM，同理可得N点的横坐标121221Nyyyxyxx，于是212221222221ONOMyyyxyxxxNM，由于2212222122222121221222212222222212222122222222122111yyayxyxybyyayxybyyayxbyaxbyax，因此有2212221222221ONOMayyyxyxxxNM.练习：设21BB，分别是椭圆1162522yx的上下两个顶点，P是椭圆上异于21BB，的动点，直线21PBPB，分别交x轴于M、N两点，则ONOM.（答案：25）.命题3过椭圆)0(12222babyax上一点),(P00yx任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值0202yaxb.证明：设直线PM的方程为)(00xxkyy，则直线PN的方程为)(00xxkyy，联立)(00xxkyy和12222byax组成方程组，消去y可得0)()(2)(2220020022222bakxyaxkxykaxbka.设),(),,(2211yxNyxM，则22200201)(2bkakxykaxx，可得22202022212)(bkakyaxbkax，同理可得22202022222)(bkakyaxbkax，则222022221)(2bkaxbkaxx，22202214bkakyaxx，于是222020210020012142)()()(bkakxbkxxxkyxxkyxxkyy，故直线MN的斜率为02022121yaxbxxyy.练习：已知椭圆11622yx，过点)23,2(A作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为.（答案：123）.3命题4分别过椭圆)0(12222babyax上两点),(),,(P0000yxQyx作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值)()(002002yyaxxb.证明：设直线PM的方程为)(00xxkyy，联立)(00xxkyy和12222byax组成方程组，消去y可得0)()(2)(2220020022222bakxyaxkxykaxbka.设),(),,(2211yxNyxM，则22200201)(2bkakxykaxx，可得22202022212)(bkakyaxbkax，同理可得22202022222)(bkaykaxbkax，则2220020022221)(2))((bkayykaxxbkaxx，2220020022221)(2))((bkayykaxxbkaxx，于是有00002100200121)()()()(yyxxkxxkyxxkyxxkyy22200222002))(()(2bkayybkaxxkb.因为点P、Q都在椭圆上，所以1220220byax，1220220byax，两式相减可得)()(0020020000yyaxxbxxyy，同理可得)()(2122122121yyaxxbxxyy，令)(00200xxtbyy①，)(00200yytaxx②，则)])(()(2[)](2))([()()(0022200220020022222122122121yybkaxxkbayykaxxbkabyyaxxbxxyy，将①、②代入便有)()(0020022121yyaxxbxxyy，即直线MN的斜率为定值)()(002002yyaxxb.练习：分别过椭圆14822yx上两点)1,6(),2,2(AB作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线PQ的斜率为.（答案：2222326）.