高中数学新课圆锥曲线方程教案(17)

课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化奎屯王新敞新疆教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率022ppxyxyOFl0,0x轴0,2p2px1e022ppxyxyOFl0,0x轴0,2p2px1e022ppyx0,0y轴2,0p2py1e022ppyx0,0y轴2,0p2py1e注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离奎屯王新敞新疆抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径奎屯王新敞新疆焦半径公式：抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）奎屯王新敞新疆下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22ppxy当直线为0yy，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点奎屯王新敞新疆当0k，设bkxyl:将bkxyl:代入0:22FEyDxCyAxC，消去y，得到关于x的二次方程02cbxax奎屯王新敞新疆（*）若0，相交；0，相切；0，相离奎屯王新敞新疆综上，得：联立pxybkxy22，得关于x的方程02cbxax当0a（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）奎屯王新敞新疆当0a，则若0，两个公共点（交点）奎屯王新敞新疆0，一个公共点（切点）奎屯王新敞新疆0，无公共点（相离）奎屯王新敞新疆（2）相交弦长：弦长公式：21kad，其中a和分别是02cbxax（*）中二次项系数和判别式，k为直线bkxyl:的斜率奎屯王新敞新疆当代入消元消掉的是y时，得到02cbyay，此时弦长公式相应的变为：211kad奎屯王新敞新疆（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式：设两交点),(),(2211yxByxA，可以通过两次焦半径公式得到：当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB奎屯王新敞新疆抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB奎屯王新敞新疆当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB奎屯王新敞新疆抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB奎屯王新敞新疆（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆直接应用抛物线定义，得到通径：pd2奎屯王新敞新疆（5）若已知过焦点的直线倾斜角则pxypxky2)2(20222pykpy221212pyykpyysin24422221ppkpyy221sin2sin1pyyAB（6）常用结论：pxypxky2)2(20222pykpy和04)2(22222pkxppkxk221pyy和421pxx奎屯王新敞新疆3．抛物线的法线：过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图．抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的奎屯王新敞新疆4．抛物线)0(22ppxy的参数方程：222ptyptx（t为参数）三、讲解范例：例正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为),(11yx、),(22yx，则1212pxy，2222pxy又|OA|＝|OB|，所以22222121yxyx即22212122pxxpxxxy平行于轴法线切线OxyBAO0)(2)(212221xxpxx0)](2)[(2121xxpxx∵02,0,021pxx，∴21xx．由此可得||||21yy，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以3330tan011xy所以pypxy3212111，pyAB342||1奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线022ppxy上，求这个正三角形的边长奎屯王新敞新疆（答案：边长为p34）2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线022ppxy上，求正三角形外接圆的方程奎屯王新敞新疆分析：依题意可知圆心在x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022Dxyx，又∵圆过点32,6pA，∴所求圆的方程为0822pxyx3．已知ABC的三个顶点是圆0922xyx与抛物线022ppxy的交点，且ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：xy42）4．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线022ppxy上，（1）分别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段AB上的射影M的轨迹方程奎屯王新敞新疆答案：（1）2214pyy；2214pxx；（2）直线AB过定点0,2p（3）点M的轨迹方程为0222xpypx奎屯王新敞新疆5．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线022ppxy上，原点在直线AB上的射影为1,2D，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：xy252）6．已知抛物线022ppxy与直线1xy相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：xy2）7．已知直线bxy与抛物线pxy220p相交于A、B两点，若OBOA，（O为坐标原点）且52AOBS，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：xy22）8．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：xy122或xy42）奎屯王新敞新疆五、小结：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式奎屯王新敞新疆六、课后作业：奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、测试题：奎屯王新敞新疆1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)yx2122．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，22）(D)（1，±22）3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为4．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是5．以双曲线191622yx的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．测试题答案：1．A2．D3．x2＝±8y4．9)23(22yx5．25512奎屯王新敞新疆