高中数学理科综合测试卷(必修1～5,选修2-1,2-2,2-3)

高中数学理科综合测试卷（必修1～5,选修2－1,2－2,2－3）2012.7一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，集合M={xR｜0≤x≤2},集合N={xR｜x2-x=0}，则正确表示集合M和N关系的韦恩（Venn）图是2.已知复数z满足(13)2izi，则复数z=A、32iB、32iC、32iD、32i3.“a≠0”是“函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有零点”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则语文书不相邻的排法有A、36种B、48种C、72种D、144种5.设m、n表示不同直线，、表示不同平面，下列命题正确的是A.若m//，m//n，则n//B.若m，n，m//，n//，则//C.若，m，mn，则n//D.若，m，n//m，n，则n//6.已知x，y满足条件5003xyxyx，+，，则z=13yx的最大值A.3B.76C.13D.-237.已知双曲线22221xyab的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A.5x2-45y2=1B.22154xyC.22154yxD.5x2-54y2=18.若把函数3cossinyxx的图象向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A.3B.23C.6D.569.已知a，b，cR+，若acbcbabac，则A.b＜c＜aB.c＜a＜bC.a＜b＜cD.c＜b＜a10.对于定义在区间D上的函数()fx，若有两条平行直线11:lykxm和22:lykxm使得当xD时，12()kxmfxkxm恒成立，且1l与2l的距离取得最小值d时，称函数()fx在D内有一个宽度为d的通道。有下列函数：①()xfxe；②1()sin2fxx；③2()1fxx；④2()11fxx。其中在1,内有一个宽度为1的通道的函数个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分.请把答案填在答题纸的相应位置上.）11.等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+a7－a10=8,a11－a4=4,则S13等于.12.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为.13.在△ABC中，AB=2，AC=1，BD=DC，则ADBD的值为.14.现有一个放有9个球的袋子，其中红球4个，白球3个，黄球2个，并且这些球除颜色外完全相同.现从袋子里任意摸出3个球，则其中有两球同色的概率为.15.在3121xxx的展开式中，含有2x项的系数为16.圆心在曲线2(0)yxx上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为.17.设锐角三角形ABC的内角CBA,,所对的边分别为cba,,，若3,3aA，则bccb22的取值范围是.三、解答题：本大题共5个小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.18.（本小题满分14分）已知2()sin(2)2cos16fxxx（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2,f(A)=12，求△ABC的面积.19.（本小题满分14分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=，an+1=23an+n-4，bn=)213(1nann）（－，其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）是否存在实数，使数列{an}是等比数列？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式.20.（本小题满分14分）如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC//AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点.（Ⅰ）求证：EF//平面PBO；（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值.21.（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为e=32，且过点（13,2）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(k≠0，m＞0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.22.（本小题满分16分）已知函数)1(ln)1()(23xxaxxxxf（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？高三数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题BCACDADCBB二、填空题11.15612.34+6513.43-14.845515.-216.(x-1)2+(y-2)2=517.(7,9]三、解答题1.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为f(x)=2sin(2)2cos16xx=31sin2cos2cos222xxx=31sin2cos222xx=sin(2)6x所以函数f(x)的单调递增区间是〔,36kk〕（kZ）……………………（7分）(Ⅱ)因为f(x)=12，所以1sin(2)62A又1302666AA，所以从而52,663AA故在△ABC中，∵a=1,b+c=2,A=∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.故bc=1从而S△ABC=13sin.24bcA……………………………………………………………（14分）19.解：（Ⅰ）假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即22224443449490,3999矛盾.所以对于任意，{an}不是等比数列.………………………………………………（6分）(Ⅱ)因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3（n+1）+21］=(-1)n+122143nan=-22(1)(321).33nnnanb当≠-18，b1=-(+18)≠0.由上式知bn≠0，所以12(*).3nnbnNb故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-23为公比的等比数列.213)32)(18(1nann当＝-18时，213nan………（14分）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）取BP中点G，连EG，由E为PC中点故EG1,2BC又F为OD中点∴OF=1122ODBC∴EGOF，故四边形OFEG为平行四边形∴EF∥GO则EF∥面PBO……………………………（6分）(Ⅱ)连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD∴CO⊥面APD故面COP⊥面APD过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD过N作NH⊥PF于H，连EH，则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A-PF-E的平面角由于E为PC中点，故EN=12CO=12AB=1∵∠APD=90°，AD=4，PD=2由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD从而NH∥OD又N是DP的中点∴H为PF的中点∴NH=12OF=12∴tan∠NHE=NENH=2∴二面角A-PF-E平面角的正切值为2.………………………………………………（14分）21.解：（Ⅰ）∵e=32∴c=32a∴b2=a2-c2=14a2故所求椭圆为：222241xyaa又椭圆过点（13,2）∴22311aa∴a2=4.b2=1∴2214xy……………（6分）(Ⅱ)设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,PQ的中点为（x0,y0）将直线y=kx+m与2214xy联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0222216(41)0,41kmkm即①又x0=12120224,214214xxkmyymykk又点［-1，0）不在椭圆OE上，依题意有0001,(1)yxk整理得3km=4k2+1②由①②可得k2＞15，∵m＞0,∴k＞0,∴k＞55设O到直线l的距离为d，则S△OPQ=22222116(41)1122141kkmmdPQkk=222242(41)(51)2112099kkkkk）当211,2OPQk时的面积取最大值1，此时k=322,,2m∴直线方程为y=3222x……………………………………………………………（14分）22.解：（Ⅰ）因为f(x)=32(1)ln(1)xxxaxx①当-1≤x＜1时，f′(x)=-x(3x-2)，解f′(x)＞0得0＜x＜23：解f′(x)＜0得-1＜x＜0或23＜x＜1∴f(x)在（-1，0）和（23，1）上单减，在（0，23）上单增，从而f(x)在x=23处取得极大值f(23)=427又∵f(-1)=2，f(1)=0，∴f(x)在［-1，1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)=alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在［1，e］单调递增；∴f(x)在［1，e］上的最大值为a.∴当a≥2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为2.………………………………………………（8分）（Ⅱ）假设曲线y=f(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t,f(t)）(t＞0),则Q（-t，t3+t2），且t≠1∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形∴OPOQ=0，即-t2+f(t)（t3+t2）=0（*）是否存在P，Q等价于方程（*）是否有解.①若0＜t＜1，则f(x)=-t3+t2，代入方程（*）得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，即：t4-t2+1=0，而此方程无实数解，②当t＞1时，∴f(t)=alnt，代入方程（*）得：-t2+alnt·（t3+t2）=0，即：1(1)ln,tta设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx+1x+1＞0在［1,+∞)恒成立.∴h(x)在［1,+∞)上单调递增，从而h(x)≥h(1)=0，则h(x)的值域为［0,+∞).∴当a＞0时，方程1a=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解.∴对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.………………………………………………（16分）