高中数学知识点

必修1第一章：§1集合与函数概念一．集合的相关概念1.集合的定义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2.集合的表示方法：列举法，描述法。3.集合中元素特征：确定性，无序性，互异性。4.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的。5.不含任何元素的集合叫做空集。二．集合的表示方法：1.按元素个数分：有限集，无限集。2.按元素特征分：数集，点集。三．两类关系：1.元素与集合的关系：用∈或€表示；2.集合与集合的关系：包含（A是B的子集），真包含（A是B的真子集），等于（A=B）注意：1解答集合问题时，要正确理解集合相关概念，特别是集合中元素的3个性质2.注意空集的特殊性，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，若A是B的子集，要考虑到A=空集和A≠空集两种情况。四．集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集。记作A∪B，即A∪B=｛x∣x∈A,或x∈B｝.2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。即A∩B=｛x∣x∈A,且x∈B｝.3.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，我们就称这个集合为全集，通常记作U.4补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的不集。§2函数及其表示一.相关概念:1.设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,是对于对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。§3函数的基本性质函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点。函数的性质，可以从数和形两个方面，从理解函数的单调性的和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质中得以巩固，在求复合函数的单调区间，函数的最值等应用问题中得以神化。具体要求：1.正确理解函数奇偶性的定义，学会判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间上的单调性，能熟练应用定义证明函数的单调性和奇偶性。2.从数形结合的角度认识函数的奇偶性和单调性，深化对函数性质几何特征的理解和应用，归纳总结求函数最大值和最小值得常用方法。3.培养学生用变化的观点分析问题，提高学生用换元，转化，数形结合等数学思想方法解决问题的能力。函数图像方面应注意以下问题：1．掌握描述函数图像的两种基本方法：描点法，图像变换法。2．会利用函数图像，进一步研究函数的性质，解决方程，不等式中的问题。3．用数形结合的思想，分类讨论的思想和转换变化的思想分析解决数学问题。4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察，分析，归纳，概括和综合分析能力。一．相关定义：1.·如果对定义域内I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1，X2，当X1＜X2时，有f(X1)＜f(X2).这时我们就说函数f(x)在区间D上是增函数。2.1.·如果对定义域内I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1，X2，当X1＜X2时，有f(X1)﹥f(X2).这时我们就说函数f(x)在区间D上是减函数。3.奇函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=-f(-x),那么函数f(x)就是奇函数。3.奇函数：如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就是偶函数。二．拓展：1．判定函数的奇偶性时先看定义域是否关于（0,0）对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。满足f(x)+f(-x)=0为奇函数，满足非f(x)-f(-x)=0为偶函数。2.奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0.第二章:基本初等函数§1指数函数与对数函数指数函数与对数函数是两类重要的基本初等函数，高考中既考查双基，又考查对蕴含其中的函数思想，等价变化，分类讨论等思想方法的理解与应用。因此应熟练的掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合应用。一．指数函数相关概念1.函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。二．指数函数的相关性质1．aras=ar+s(a0,r,s∈Q);(ar)s=ar+s(a0,r,s∈Q);(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).2.图像的性质：当a1时，图像经过点（0,1），从左到右图像单调递增，y轴右侧，a越大，图像越陡；y轴左侧，a越大，图像越平缓。当0a1时，图像经过点（0,1），从左到右，图像单调递减，y轴右侧，a越大，图像越平缓，y轴左侧，a越大，图像越陡。3.当a,b互为倒数时，y=ax的图像与y=bx的图像关于y轴对称。三．对数函数的相关定义：1.我们把函数logax（a0,且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）2.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数。把以e为底的对数叫做自然对数。四．对数函数的相关性质：1.如果a0,且a≠1,M0,N0,那么：（1）logaMN=logaM+logaN;(2)logaM/N=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM.(n∈R)2.logax和log1/ax图像关于x轴对称。3.logax,当a1时，a越大，图像越陡.五．反函数的性质：反函数在高考中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考查互为反函数的两个函数的性质应用和图像关系。注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调。1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。2.存在反函数的充要条件：定义域与值域是一一映射。3.原函数，反函数单调性一致。4.偶函数(除f(x)=0外）不存在反函数，奇函数若存在反函数则反函数也是奇函数。§2幂函数一．定义：1函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。3.当a=2时，这时的幂函数就是2次函数。二次函数是中学代数的基本内容之，它既简单又有丰富的外延，因此二次函数的相关性质也是我们需要掌握的重点。学习二次函可以从函数解析式和函数的图像两方面入手。第三章：函数的应用§1函数与方程一．方程的跟与函数的零点做函数y=f(x)的零点。2.如果函数y=f(x)在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在去间（a,b）内有零点，即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。二．用二分法求方程的近似解1.对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。§2函数模型及其应用一．本节的教学重点是认识指数函数，对数函数，幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升，指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题。学生对指数函数，对数函数的认识还很少，所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定的困难。如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另外一个困难。教材选取了投资回报模型和奖励模型两个实例，让学生对直线上升，指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的快，一次函数比对数函数增长的快。二．函数模型的应用实例主要包含3个方面：利用给定的函数模型解决实际问题（如例4），建立确定性函数模型解决问题和建立拟合函数模型解决实际问题（例5,6）三．教学重点与难点：1.重点：将实际问题转化为数学模型，比较常函数，对数函数，指数函数的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数类型增长的含义。2.难点:怎样选择合适的数学模型解决实际问题。必修2第一章空间几何体（约需8课时）学习目标：（1）利用实物模型，计算机软件模型大量观察空间图形状，认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。（2）能画出简单几何体（长方体，球，圆锥，圆柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会制作简单的模型，并会用斜二测画法画出它们的直观图。（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表现形式。（4）了解柱，球，棱柱，台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）§1空间几何体重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱，锥，台，球的结构特征。难点:柱，锥台，球的结构特征概括。一．柱，锥，台，球的结构特征：1,。有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。2.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围的多面体叫做棱柱。3.用一个平行于棱锥底面的面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。4.以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。5.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。6.用平行于圆锥底面的面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。二．简单几何体的结构特征：1.简单几何体的构成有两种基本形式：一种是简单几何体拼接而成；一种是简单几何体截去或挖去一部分而成。§2简单几何体的三视图和直观图重点：画出简单几何体的三视图，用斜二测画法画出空间几何体的直观图。难点：识别三视图所表示的空间几何体。一．中心投影与平行投影1.我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。2.我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。二．空间几何体的三视图1.一种光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影与叫做正视图。2.一种光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影与叫做侧视图。3.一种光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影与叫做俯视图。三．用斜二测画法画空间几何体的直观图也是需要掌握的方法（P教材16页§3空间几何体的表面积与体积命题规律：柱，锥，球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握计算方法即可。第二章点，直线，平面之间的位置关系（约需10课时）学习目标：1.直观认识和理解，体会空间中点，直线，平面之间的关系，抽象出空间直线，平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行，垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行与同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2以空间几何的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出如下的一些判定定理和性质定理：判定定理:(1)平面外一条直线与此乃平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。(3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。(4)一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。性质定理：（1）一条直线与一个平面平行，则过改直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。（2）两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行。（3）垂直于同一个平面的；两条直线平行。（4）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。对性质定理要求加以证明，对判断定理将在选修2-1中用向量法加以严格的证明。3.运用已经获得的知识结论证明一些空间位置关系的简单命题。§1.1空间点，直线，平面间的位置关系一．平面1.点在直线上，在直线外2.直线在平面上，在平面外（相交，平行）二．相关公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：