高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义1．xxfxxfxfx)()(lim)(0000/叫函数)(xfy在0xx处的导数，记作0|/xxy。注：①函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。③xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（0x，)(0xf）及点（0x+x，)(00xxf）的割线斜率。④导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在0x点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（0x，)(0xf）处的切线的斜率。⑤若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。⑥如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导；此时对于每一个x∈),(ba，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf，称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间),(ba内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。[举例1]若2)(0/xf，则kxfkxfk2)()(lim000等于：(A)-1(B)-2(C)1(D)1/2解析：∵2)(0/xf，即kxfkxfk)()]([lim000=2kxfkxfk2)()(lim000=-1。[举例2]已知0,an为正整数奎屯王新敞新疆设()nyxa，证明1'()nynxa解析：本题可以对()nyxa展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：xaxaxxynnx)()(lim0/=xaxxCxaxCxaxCaxnnnnnnnnnx)()()()()()(lim222110=xxCxaxCxaxnnnnnnnx)()()()(lim22210=])()()()()([lim12332210nnnnnnnnxxCxaxCxaxCaxn=1)(naxn。[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：2221tttS，试用导数的定义求t=3时的速度。[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为0q时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqCqC)()(00刻划.如果q无限趋近于0时，qC无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为0q时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋82x，则生产8个单位产品时，边际成本是：（）A．2B．8C．10D．162．常用导数公式：0'c,1)'(nnnxx,xxee/)(，xx1)(ln/；导数的运算法则：若函数)(xf与)(xg的导数存在，则)(')(')]'()([xgxfxgxf,)(')]'([xfcxcf，)()()()()]()([///xgxfxgxfxgxf；)()()()()())()((2///xgxgxfxgxfxgxf（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）；复合函数的导数：由)(ufy与u=)(x得到复合函数fy)(x，则'xy='uy.'xu。[举例1]已知xfxxxf)1()(/23，则)2(/f=。解析：)1(/f是常数，∴1)1(23)(/2/xfxxf)1(/f=3+2)1(/f-1)1(/f=-2∴143)(2/xxxf，故)2(/f=3。[举例2]Nn，nnnnnnCCCC32132=。解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（kknC=n11knC）；这里，我们观察nnnnnnnnxCxCxCxCCx332210)1(①，不难发现其通项kknxC求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：1232132)1(nnnnnnnxnCxCxCCxn，令x=1得：nnnnnnCCCC32132=nn2[巩固1]已知2()1ln2ln(0)fxxxaxx．令()()Fxxfx，则)(/xF=。[巩固2]已知函数)1()13)(12)(1()(nxxxxxf，则)0(/f的值为：A．2nCB．21nCC．2nAD．21nA3．函数)(xf在0xx处的导数)('0xf的几何意义：曲线)(:xfyC在其上点0(xP，)0y处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。[举例1]曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e（07高考海南理10）解析：12exyxey21/21，则]曲线在点2(4e)，处的切线斜率为：221e，∴切线方程为：)4(2122xeey，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2e）；∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：2e，选D。[举例2]函数)(xfy的图象在点P处的切线方程是：8xy，若点P的横坐标为5，则)5()5(/ff=。解析：本题没有函数表达式，但有切线方程8xy，注意到“切点在切线上”，∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴3)5(f；而曲线)(xfy在点P处的切线斜率为)5(/f，即)5(/f=-1，故)5()5(/ff=2。[举例3]已知直线10xy与抛物线2yax相切，则______.a解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0，从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P（0x，0y），axy2/，则有：0100yx（切点在切线上）①；200axy（切点在曲线上）②02ax=1（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：41a。[巩固1]已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff＿＿＿＿．（07高考湖北文13）[巩固2]点P是曲线323xxy上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、2,0B、,432,0C、,43D、43,2[巩固3]若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=___________4、注意区分“求曲线)(xfy上过点M的切线”与“求曲线)(xfy上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。[举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程解析：易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1,但O点未必是切点。设切点A（x0,y0）∵y’=3x2－6x+1,∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴00xykAO=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0①又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0②由①②得：x0=0或x0=23，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bxaxxf3)(。若M（x1，y1）是三次曲线bxaxxf3)(上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为))((000xxxfyy，因点M上此切线上，故))((01001xxxfyy，又13110300,bxaxybxaxy，所以))(3()(0120030131xxbaxbxaxbxax，整理得：0)2()(10210xxxx，解得，10xx或210xx。当点M是对称中心即1x=-21x=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即01x时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。[巩固]曲线32242yxxx上过点(13)，的切线方程是．答案1．[巩固1]27323，[巩固2]A，2、[巩固1]22()10xFxxxx，；[巩固2]B；3、[巩固1]3，[巩固2]B，[巩固3]1或413；4、[巩固]025yx，或09421yx