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概率、统计【知识精要】1.排列、组合问题的基本原理:加法(分类)和乘法(分步)原理。解决此类问题常见要点:(1)不重复,不遗漏;(2)正面考虑比较麻烦时,考虑间接法;(2)特殊位置、元素优先考虑;(3)转化思想,对于陌生问题,尽量转化为熟悉模型。2.隔板法模型:将m个名额分给k个人()mk,每人至少一个的方法是11kmC;引申1:方程12kxxxm(1,,)iixxZmZ的解有11kmC组;引申2:方程12kxxxm(0,,)iixxZmZ的解有11kmkC组。【例题精讲】+【习题精练】例1:3个人传球,由甲发球,5次传球之后,仍回到甲手中,有多少种传球方法?解:将问题转化为右图填图问题。中间可能有甲或无甲,则有1122222210CCAA种不同的传球方法。练习1:(2000全国高中数学联赛)如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.例2:使直线1axby和圆2250xy只有整数公共点的有序实数对(,)ab的个数为:()A、72B、74C、78D、82解:第一象限圆上有(7,1),(5,5),(1,7)三个整点,故平面上有12个整点,分割线或切线,共2121278C条,但该直线不过原点,减去6条,共有72条,选A。练习2:(05年江苏高中数学竞赛)由三个数字1、2、3组成的5位数中,1、2、3都至少出现1次,这样的5位数共有.例3:(2005全国高考试题改编)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,任选两条为异面直线的概率是:。解:全部情况有215105C种,记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件A,而要使两直线异面,只需四点不共面,且不共面的四点可连成3组异面直线,则事件A的可能情况有463(3)36C种,故3612()10535PA。即任选两条为异面直线的概率为1235。练习3:(02年全国联赛题改编)已知点1021,,,PPP分别是四面体的顶甲甲点或棱的中点,那么四点组),,,(1kjiPPPP(101kji)在同一平面上的概率为.练习4:(09安徽高考)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()(A)751(B)752(C)753(D)754例4:(2005全国高中数学联赛)如果自然数a的各位数字之和为7,那么称a为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列1234,,,,,aaaa若2005na,则5na。解:设12kxxx为k为吉祥数,11,0(2,3,,)ixxik,则127kxxx(1)令11yx,1(2,3,,)iiyxik,则(1)为1236kyyyyk(2)方程(2)正整数解个数即k为吉祥数的个数,记为()Pk。利用隔板法有()Pk1655kkkCC个。而2005是形如2342xxx数中最小吉祥数,且(1)1,(2)7,(3)28.PPP对于四位吉祥数2341xxx,其个数为满足2346xxx的非负整数解的个数,即6828C个,故2005是第172828165个吉祥数,即65n,5325n,又66910(4)84,(5)210PCPC,故51()172884210330kPk。而5位吉祥数中最后的5个倒过来依次为70000,61000,60100,60010,52000,则第325个吉祥数为52000,即5na52000。练习5:从数1,2,3,,14中,按从小到大的排序取出123,,aaa三个数,且21323,3aaaa,则符合条件的不同取法有多少种?练习6:将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有五种颜色可供使用,求不同的染色方法的总数。练习7:从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面染色,每面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染不同的颜色,则不同的染色方法有多少种?
本文标题:高中数学竞赛(排列组合概率)
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