高中数学竞赛讲座07面积问题和面积方法

竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC，cba,,分别为角CBA,,的对边，ah为a的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21cbap．则△ABC的面积有如下公式：（1）aABCahS21；（2）AbcSABCsin21（3）))()((cpbpappSABC（4）prcbarSABC)(21（5）RabcSABC4（6）CBARSABCsinsinsin22（7）)sin(2sinsin2CBCBaSABC（8）)(21acbrSaABC（9）)2sin2sin2(sin212CBARSABC2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则QMPMSSQABPAB::；（7）共角比例定理：在△ABC和△CBA中，若AA或180AA，则CABAACABSSCBAABC．3．张角定理：如图，由P点出发的三条射线PCPBPA,,，设APC，CPB，180APB，则CBA,,三点共线的充要条件是：PCPAPB)sin(sinsin．例题分析例1．梯形ABCD的对角线BDAC,相交于O，且mSAOB，nSCOD，求ABCDS例2．在凸五边形ABCDE中，设1EABDEACDEBCDABCSSSSS，求此五边形的面积．例3．G是△ABC内一点，连结CGBGAG,,并延长与ABCABC,,分别交于FED,,，△AGF、△BGF、△BGD的面积分别为40，30，35，求△ABC的面积．例4．RQP,,分别是△ABC的边BCAB,和CA上的点，且1RCQRPQBP，求△ABC的面积的最大值．例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点IHGFED,,,,,都在△ABC的边上，1S表示六边形DGHEFI的面积，2S表示△ABC的面积．求证：2132SS．例6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证：TS2．例7．锐角三角形ABC中，角A等分线与三角形的外接圆交于一点1A，点1B、1C与此类似，直线1AA与B、C两角的外角平分线将于一点0A，点0B、0C与此类似．求证：（1）三角形000CBA的面积是六边形111CBBAAC的面积的二倍；（2）三角形000CBA的面积至少是三角形ABC的四倍．例8．在△ABC中，RQP,,将其周长三等分，且QP,在边AB上，求证：92ABCPQRSS．例9．在锐角△ABC的边BC边上有两点E、F，满足CAFBAE，作ABFM，ACFM（NM,是垂足），延长AE交△ABC的外接圆于点D，证明四边形AMDN与△ABC的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF内接于⊙O，且13DCBCAB，1FAEFDE，求此六边形的面积．例11．已知ABC的三边cba，现在AC上取ABBA，在BA延长线上截取BCCB，在CB上截取CAAC，求证：CBAABCSS．例12．CBA在ABC内，且ABC∽CBA，求征：ABCABCCABBCASSSS例13．在ABC的三边ABCABC,,上分别取点FED,,，使EACEDCBD3,3，FBAF3，连CFBEAD,,相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13，求三角形PQR的面积．例14．E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点，ADEF于F，BCEH于H，CDEG于G，求证：EF平分FH．例15．已知边长为,,,cba的ABC，过其内心I任作一直线分别交ACAB,于NM,点，求证：bcaINMI．例16．正△PQR正△RQP，1aAB，1bBC，2aCD，2bDE，3aEF，3bFA．求证：232221232221bbbaaa．例17．在正ABC内任取一点O，设O点关于三边ABCABC,,的对称点分别为CBA,,，则CCBBAA,,相交于一点P．例18．已知CEAC,是正六边形ABCDEF的两条对角线，点NM,分别内分ACCE，且使kCECNACAM，如果NMB,,三点共线，试求k的值．例19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD时，直线AB与以CD为直径的圆相切．训练题1．设ABC的面积为102cm，FED,,分别是CABCAB,,边上的点，且,3,2cmDBcmAD若DBEFABESS，求ABE的面积．2．过ABC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,SSS，求三角形ABC的面积．3．在ABC的三边CABCAB,,上分别取不与端点重合的三点LKM,,，求证：AML，CLKBKM,中至少有一个的面积不大于ABC的面积的41．4．锐角ABC的顶角A的平分线交BC边于L，又交三角形的外接圆于N，过L作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是MK,，求证：四边形AKNM的面积等于ABC的面积．5．在等腰直角三角形ABC的斜边BC上取一点D，使BCDC31，作ADBE交AC于E，求证：ECAE．6．三条直线nml,,互相平行，nl,在m的两侧，且ml,间的距离为2，nm,间的距离为1，若正ABC的三个顶点分别在nml,,上，求正ABC的边长．7．已知321PPP及其内任一点P，直线PPi分别交对边于iQ（3,2,1i），证明：在332211,,PQPPPQPPPQPP这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D和E分别在ABC的边AB和BC上，点K和M将线段DE分为三等分，直线BK和BM分别与边AC相交于点T和P，证明：ACTP31．9．已知P是ABC内一点，延长CPBPAP,,分别交对边于CBA,,，其中xAP，wCPBPAPzCPyBP,,，且3,23wzyx，求xyz之值．10．过点P作四条射线与直线ll,分别交于DCBA,,,和DCBA,,,，求证：CBDADCBABCADCDAB．11．四边形ABCD的两对对边的延长线分别交LK,，过LK,作直线与对角线BDAC,的延长线分别FG,，求证：KGLGKFLF．12．G为ABC的重心，过G作直线交ACAB,于FE,，求证：GFEG2．