高中数学第三章《函数的应用》章末质量评估新人教A版必修1

用心爱心专心(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中在[1,2]内有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x－6D．f(x)＝ex＋3x－6【解析】对于A、B、C中的函数f(1)·f(2)0，只有D项中f(1)·f(2)0.故选D.【答案】D2．下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝2x－1B．f(x)＝lnx＋2x－6C．f(x)＝x2－4x＋4D．f(x)＝3x－1【解析】选项A、B、D中函数都是单调函数，故能用二分法求零点，选项C中函数具有二重零根，故不能用二分法求零点，故选C.【答案】C3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()【解析】把y=f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．故选C.【答案】C4．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3230，用心爱心专心f(3)＝log33＋3－3＝10，∴f(x)的零点在区间(2,3)内，即方程log3x＋x＝3的解所在区间是(2,3)．故选C.【答案】C5．若函数f(x)＝2ax2－x＋1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值为()A．a0B．a0C．－1a≤0D．0≤a≤1【解析】f(0)＝1，f(1)＝2a，由零点存在性定理得f(0)·f(1)＝2a0，∴a0.故选B.【答案】B6．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()用心爱心专心A．[-2.1，-1]B．[4.1,5]C．[1.9,2.3]D．[5,6.1]【解析】由图象易知，在[1.9,2.3]内的零点不能用二分法求．故选C.【答案】C7．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部住满，若每晚收费每提高2元，便减少10张客床租出，则总收入y(y0)元与每床每晚收费应提高x(假设x是2的正整数倍)元的关系式为()A．y＝(10＋x)(100－5x)B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈NC．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8【解析】由题可得总收入y与x之间的函数关系式为：y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18.故选C.【答案】C8．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨【解析】设该职工该月实际用水为x吨，易知x8.则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.故选D.【答案】D9．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()用心爱心专心A．k0B．k0C．0≤k1D．k＝0【解析】在同一坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k，若f(x)有两个零点，必有－k0，即k0.故选A.【答案】A10.利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)()A．1.5B．2C．0.5D．1【解析】设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x2＋3x(0x32)，当x＝－32×(－2)＝34＝0.75时，S有最大值．∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2.故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中用心爱心专心横线上)11．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．【解析】由f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)＝0得x＝±2或x＝1或x＝2.∴函数f(x)的零点为－2，1，2，2.【答案】－2，1，2，212．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2009，则x1＋x2＋…＋x2009＝________.【解析】定义在R上的奇函数f(x)必有f(0)＝0，则x1，x2，…，x2009中必有一个是0，其余的2008个零点分别在x轴上，关于坐标原点两两对称．【答案】013．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为________元．【解析】设该商品每个涨价x元时，利润为y元，则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20(x－5)2＋4500,0≤x20.当x＝5时，y取最大值4500.【答案】9514．函数y＝x2与函数y＝2lnx在区间(0，＋∞)上增长较快的是________．【答案】y＝x2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－14.综上，当a＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；用心爱心专心(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)，∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②①－②得b＝a＋8.③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋12)2＋34＋18，图象的对称轴方程是x＝－12，又0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，∴函数f(x)的值域是[12,18]．17．(12分)某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金)．(1.095≈1.5386)【解析】∵本金为100万元，按单利计算时，年利率为10%，5年后的本利和为100(1＋10%×5)＝150(万元)，按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为100(1＋9%)5＝100×1.095≈153.86(万元)．由此可见，按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．18．(14分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价用心爱心专心调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]【解析】(1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝kx－0.4(k≠0)．把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k＝0.2.∴y＝0.2x－0.4＝15x－2.即y与x之间的函数关系式为y＝15x－2.(2)由题意得1＋15x－2·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)整理得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5或x2＝0.6.经检验x1＝0.5或x2＝0.6都是方程的根．因x的取值范围在0.55～0.75之间，∴x＝0.6，答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%