高中数学第二章数列数列复习1导学案(教师版)苏教版必修5

1必修5数列复习小结第1课时第19课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、知识点总结（一）数列的概念1．数列的概念与简单表示法（1）从定义角度看：（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N*它的有限子集为定义域的函数an=f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值.2．数列的表示（1）列表法；（2）图象法：注意图象是，而不是_______；（3）通项公式：（4）递推公式：如果已知数列｛an｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.3．数列的分类1）按数列项数的多少可以分为和。2）按数列中相邻两项的大小可分为、、和.4．数列的通项an与前n项和Sn之间的关系对任一数列有an=2,1,11nSSnSnn（二）等差数列1.等差数列的定义：若数列｛an｝为等差数列，则有an-an-1=d(其中n≥2，n∈N*).2.等差中项：3.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差.当d0时，数列｛an｝为递增数列；当d0时，数列｛an｝为递减数列；当d=0时，数列｛an｝为常数列.24.等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS；dnnnaSn2)1(1.5.等差数列的性质：（1）等差数列｛an｝中，an-am=(n-m)d；（2）等差数列｛an｝中，若m+n=p+q(其中m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq；若m+n=2p，则am+an=2ap，也称ap为am，an的等差中项.（3）等差数列中依次k项和成等差数列，即KKKKKSSSSS232、、成等差数列，其公差为kq。6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________若四个数成等差数列，可设为_____________________________.7.等差数列的判定方法：1）定义法：daann1na是等差数列。2）中项公式法：212nnnaaa（n*N）na是等差数列3)通项公式法：qpnanna是等差数列4）前n项和公式法：BnAnSn2（A,B,为常数）na是等差数列（三）等比数列1.等比数列的定义：若数列｛an｝为等比数列，则有qaann1(n≥2,n∈N*,q≠0).2.等比中项：3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1.4.等比数列的前n项和公式：若等比数列的首项为a1,公比为q，则其前n项和)1(,1)1()1(,11qqqaqnaSnn.5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a1,公比为q，则有：3（1）an=amqn-m；（2）m+n=s+t(其中m,n,s,t∈N*)，则aman=asat；若m+n=2k，则ak2=anam.（3）等比数列中依次k项和成等比数列，即KKKKKSSSSS232、、成等比数列，其公比为kq。（四）求和方法1.公式法:①2)(1nnaanS=dnnna2)1(1(等差数列);②1,1)1(1,11qqqaqnaSnn(等比数列)2.倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项公式的推导所用方法).3.错位相减法:若｛an｝是等差数列,｛bn｝是等比数列,求数列｛anbn｝的前n项时,可在等式两边同乘以数列｛bn｝的公比,再与原式相减,从而求和的方法(等比数列前n项和公式的推导方法).4.裂项相消法:若｛an｝是等差数列,求数列nnaa1的前n项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也适合于其它裂项后易于求和的数列.5.分组求和:对于既非等差又非等比数列的一类数列,若将数列的项进行适当的拆分,可分成等差、等比或常数列,然后求和.6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律易于求和时可用这种方法.三、课前练习1.(2009安徽卷文）已知na为等差数列，，则=______1∵135105aaa即33105a∴335a同理可得433a∴公差432daa∴204(204)1aad.选B。2.(200年广东卷文)已知等比数列}{na的公比为正数，且3a·9a=225a，2a=1，4则1a=______22【解析】设公比为q,由已知得22841112aqaqaq,即22q,又因为等比数列}{na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,3.（2009湖南卷文）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S=_______49【解析】172677()7()7(311)49.222aaaaS或由21161315112aadaaadd,716213.a所以1777()7(113)49.22aaS故选C.4.（2009江苏卷）设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban，若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。na有连续四项在集合54,24,18,36,81，四项24,36,54,81成等比数列，公比为32q，6q=-9.5.(2009宁夏海南卷文)等差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m______10【解析】因为na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得：2ma－2ma＝0，所以，ma＝2，又2138mS，即52))(12(121maam＝38，即（2m－1）×2＝38，四、例题探究例1设na是正数组成的数列，其前n项为Sn，且对于所有正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。⑴求na的通项公式；⑵求13221111nnaaaaaa的值。例2（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。解：（I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，．．．①则当2n时，有142nnSa．．．．．②②－①得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa数列{}2nna是首项为12，公差为34的等比数列．1331(1)22444nnann，2(31)2nnan评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与的关系即可．6第（II）问中由（I）易得11232nnnaa，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnnapaqpq为常数)，主要的处理手段是两边除以1nq．总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。五、课后作业1.（2009广东卷理）已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa2n【解析】由25252(3)nnaan得nna222，0na，则nna2，3212loglogaa2122)12(31lognnan。2.（2009辽宁卷理）设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=______73【解析】设公比为q,则36333(1)SqSSS＝1＋q3＝3q3＝2于是63693112471123SqqSq3.（2009宁夏海南卷理）等比数列na的前n项和为ns，且41a，22a，3a成等差数列。若1a=1，则4s=()15【解析】41a，22a，3a成等差数列，722132111444,44,440,215aaaaaqaqqqq即，S,4.（2007福建）数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于____56五、反思总结